Како користити 'Ако и само ако' у математици

Када читате о статистици и математици, једна реченица која се редовно појављује је "ако и само ако". Ова се фраза нарочито појављује у изјавама математичких теорема или доказа. Али шта тачно та изјава значи?

Да бисмо разумели „ако и само ако“, прво морамо знати шта се подразумева под условном изјавом. Условна изјава је она која је формирана из две друге изјаве, које ћемо означити с П и К. Да бисмо формирали условну изјаву, могли бисмо рећи "ако П онда К."

Следе примери ове врсте изјава:

• Ако вани пада киша, узмем свој кишобран са собом у шетњу.
• Ако учите напорно, тада ћете зарадити А.
• Ако н дељив је са 4 н дељиво је са 2.

Три друге изјаве повезане су са било којом условном изјавом. Они се зову обрнуто, обрнуто и контрапозитивно. Ове изјаве обликујемо тако што мењамо редослед П и К од првобитног условног и убацујемо реч „не“ за обрнуто и контрапозитивно.

Овде морамо узети у обзир само обрнуто. Ова изјава је добијена од оригинала речима: "ако К онда П." Претпоставимо да почнемо са условним „ако напољу пада киша, онда ја понесите моји кишобран са собом у шетњу. " Супротност овој изјави је „ако узмем свој кишобран са собом у шетњу, тада пада киша напољу. "

Овај пример морамо само размотрити да бисмо схватили да изворни услов није логично исти као његова обрнута. Конфузија ове две изјаве је позната као а обратна грешка. Човјек би могао узети кишобран у шетњи иако вани можда не пада киша.

За други пример сматрамо условно „Ако је број дељив са 4, онда је дељив са 2.“ Ова изјава је очигледно тачна. Међутим, обратна изјава ове изјаве: "Ако је број дељив са 2, онда је дељив са 4", лажна је. Морамо само да погледамо број као што је 6. Иако 2 дели овај број, 4 не. Иако је оригинална изјава тачна, њена супротност није.

Ово нас доводи до двокондиционе изјаве, која је такође позната као изјава „ако и само ако“. Одређене условне изјаве такође имају преговоре који су тачни. У овом случају можемо формирати оно што је познато као двокондиционалан исказ. Двокондиционалан изјава има облик:

"Ако је П онда К, а ако К онда П."

Јер ово конструкција је помало незгодно, посебно када су П и К сопствене логичке изјаве, поједностављујемо изјаву двокондиционала користећи фразу "ако и само ако." Уместо да кажемо „ако је П, онда К, а ако је К онда П“, ми кажемо „П ако и само ако је К.“ Ова конструкција елиминише неке сувишност.

На пример израза „ако и само ако“ који укључује статистику, не тражите даље него чињеницу која се тиче узорка стандардне девијације. Стандардна девијација узорка скупа података једнака је нула ако и само ако су све вредности података идентичне.

Разбијамо ову двокондиционистичку изјаву на условну и њену обратну. Тада видимо да ова изјава значи и једно и друго од следећег:

• Ако је стандардна девијација једнака нули, тада су све вредности података идентичне.
• Ако су све вредности података идентичне, тада је стандардно одступање једнако нули.

Ако покушавамо да се докажемо двосмисленим, тада већину времена раздвајамо. Због тога наш доказ има два дела. Један део који доказујемо је „ако је П онда К.“ Други део доказа који нам је потребан је "ако је К, онда П."

Бикондиционе изјаве односе се на услове који су и неопходни и довољни. Размотрите изјаву „ако данас јесте Васкрс, сутра је понедељак. " Данас је Ускрс довољан да би сутра био понедељак, међутим, то није неопходно. Данас би могла бити било која недеља осим Ускрса, а сутра би и даље била понедељак.

Фраза "ако и само ако" се користи довољно математичког писања да има своју кратицу. Понекад је двокондиционалан у изјави фразе „ако и само ако“ скраћен на једноставно „ифф“. Стога изјава „П ако и само ако К“ постаје „П ифф К.“