Шта је стандардна нормална дистрибуција у статистици?

Белл цурвес појављују се током статистике. Различита мерења као што су пречник семенки, дужина рибљих пераја, резултати на САТ-у и тежине појединих листова папира папира, формирају се звонасте кривине када се узимају. Општи облик свих ових кривина је исти. Али све ове криве су различите јер је мало вероватно да било која од њих дели исту средњу вредност или стандардну девијацију. Звона са великим стандардним одступањима су широка, а звонасте криве са малим стандардним одступањима су мршаве. Кривуље звона са већим средствима померају се више удесно од оних са мањим средствима.

Да бисмо ово учинили мало конкретнијим, претварајмо се да меримо пречнике од 500 зрна кукуруза. Затим снимамо, анализирамо и графицирамо те податке. Откривено је да је скуп података обликован као крива звона и има средњу вредност 1,2 цм са стандардним одступањем од 4,4 цм. Претпоставимо сада да исту ствар урадимо са 500 грахова и утврдимо да имају средњи пречник од 8 цм са стандардним одступањем од .04 цм.

Кривуље звона из оба ова скупа података приказане су горе. Црвена крива одговара подацима кукуруза, а зелена кривуља одговара подацима о зрну. Као што видимо, центри и ширине ове две кривуље су различити.

То су очигледно две различите криве звона. Они се разликују по својим средствима и стандардна одступања не подударају се Будући да сваки занимљив скуп података на који наиђемо може имати било који позитиван број као стандардно одступање, а било који број за средњу вредност, ми стварно само гребамо површину бесконачно број кривих звона. То је пуно кривина и превише превише да бисмо се могли носити са њима. Шта је решење?

Један циљ математике је уопштавање ствари кад год је то могуће. Понекад је неколико појединачних проблема посебан случај једног проблема. Ова ситуација која укључује криве звона је сјајна илустрација тога. Уместо да се бавимо бесконачним бројем кривих звона, можемо их повезати са једном кривуљом. Ова посебна крива звона назива се стандардна крива звона или стандардна нормална дистрибуција.

Стандардна крива звона има средњу вредност нула и стандардну девијацију једна. Било која друга крива звона може се упоредити са овим стандардом помоћу а директан израчун.

Сва својства било које кривуље звона задржавају се за стандардну нормалну дистрибуцију.

• Стандардна нормална дистрибуција не само да има средњу вредност нуле већ и средњу и нулу. Ово је средиште кривине.
• Стандардна нормална дистрибуција показује симетрију зрцала на нули. Половина кривине је с лијеве стране нула, а половина криве са десне стране. Ако би се крива савила дуж вертикалне линије на нули, обе половине би се савршено уклопиле.
• Стандардна нормална дистрибуција следи правилу 68-95-99.7, што нам даје једноставан начин за процену следећег:
  • Отприлике 68% свих података је између -1 и 1.
  • Отприлике 95% свих података је између -2 и 2.
  • Отприлике 99,7% свих података је између -3 и 3.

У овом се тренутку можемо питати: „Зашто се мучити са стандардном кривином звона?“ Можда се чини да је то непотребно компликовање, али стандардна крива звона ће бити корисна док наставимо са статистикама.

Открићемо да једна врста проблема у статистици захтева да нађемо подручја испод делова било које кривине звона на које наилазимо. Крива звона није леп облик за подручја. Није попут правоугаоника или Право троугао то је лако формуле подручја. Проналажење подручја делова криве звона може бити тешко, у ствари толико тешко да бисмо морали да користимо одређену рачуницу. Ако не стандардизујемо наше криве звона, морали бисмо да направимо неколико рачуна сваки пут када желимо да пронађемо област. Ако стандардизујемо наше криве, сав посао израчунавања површина урађен је за нас.