Теорија скупова користи неколико различитих операција да конструише нове скупове од старих. Постоји мноштво начина за одабир одређених елемената из датих скупова, а искључење других. Резултат је обично скуп који се разликује од оригиналног. Важно је имати добро дефинисане начине конструкције ових нових скупова, а њихови примери укључују унија, раскрсница, и разлика два сета. Операција скупа која је можда мање позната назива се симетрична разлика.
Дефиниција симетричне разлике
Да бисмо разумели дефиницију симетричне разлике, прво морамо разумети реч 'или'. Иако мала, реч 'или' има две различите употребе у енглеском језику. Може бити ексклузивна или инклузивна (и управо је коришћена искључиво у овој реченици). Ако нам се каже да можемо бирати између А или Б, а смисао је искључив, можда ћемо имати само једну од две могућности. Ако је смисао инклузиван, онда можемо имати А, можда Б, или А и Б.
Обично нас контекст води када наиђемо на реч или не морамо чак ни да размишљамо на који ће се начин користити. Ако нас питају желимо ли крему или шећер у својој
кафајасно се подразумева да можда имамо и једно и друго. У математици желимо да елиминишемо нејасноће. Дакле, реч „или“ у математици има инклузивно значење.Реч „или“ се користи у инклузивном смислу у дефиницији уније. Уједињење скупова А и Б је скуп елемената било у А или Б (укључујући оне елементе који су у оба скупа). Али постаје корисно имати операцију скупа која конструише скуп који садржи елементе у А или Б, при чему се 'или' користи у ексклузивном смислу. То је оно што називамо симетричном разликом. Симетрична разлика скупова А и Б су они елементи у А или Б, али не у А и Б. Док се нотација разликује за симетричну разлику, то ћемо написати као А ∆ Б
За пример симетричне разлике размотрићемо скупове А = {1,2,3,4,5} и Б = {2,4,6}. Симетрична разлика између ових скупова је {1,3,5,6}.
У смислу осталих операција скупа
Остале постављене операције могу се користити за дефинисање симетричне разлике. Из горње дефиниције јасно је да можемо изразити симетричну разлику А и Б као разлику сједињења А и Б и пресек А и Б. У симболима пишемо: А ∆ Б = (А ∪ Б) - (А ∩ Б).
Еквивалентни израз, помоћу неких различитих операција скупа, помаже да се објасни име симетрична разлика. Уместо да користимо горњу формулацију, можемо написати симетричну разлику на следећи начин: (А - Б) ∪ (Б - А). Овде поново видимо да је симетрична разлика скуп елемената у А, али не у Б, или у Б, али не у А. Стога смо искључили те елементе у пресеку А и Б. Могуће је математички доказати да су ове две формуле једнаке и односе се на исти скуп.
Назив Симетрична разлика
Назив симетрична разлика сугерира везу са разликом два скупа. Ова постављена разлика је видљива у обе формуле горе. У сваком од њих израчуната је разлика у два низа. Оно што разликује симетричну разлику од разлике је њена симетрија. Конструкцијом се улоге А и Б могу мењати. То не важи за разлику између два скупа.
Да нагласимо ову тачку, само уз мало рада видећемо симетрију симетричне разлике откад је видимо А ∆ Б = (А - Б) ∪ (Б - А) = (Б - А) ∪ (А - Б) = Б ∆ А.