Теорија бројева је грана математика која се односи на скуп целих бројева. Овим се ограничимо помало јер то директно не проучавамо друге бројеве, попут ирационалних. Међутим, друге врсте реални бројеви се користе. Поред овога, предмет вероватноће има много веза и пресека са теоријом бројева. Једна од тих веза односи се на дистрибуцију прости бројеви. Тачније можемо се питати, која је вероватноћа да је насумично изабран цео број од 1 до Икс је главни број?
Претпоставке и дефиниције
Као и код било којег математичког проблема, важно је разумети не само које претпоставке се стварају, већ и дефиниције свих кључних појмова у проблему. За овај проблем разматрамо позитивне целе бројеве, што значи читаве бројеве 1, 2, 3,. .. до неког броја Икс. Насумично бирамо један од ових бројева, што значи и све Икс од њих је подједнако вероватно да ће бити изабрани.
Покушавамо да утврдимо вероватноћу да је изабран главни број. Стога морамо схватити дефиницију правог броја. Једноставни број је позитивни цели број који има тачно два фактора. То значи да су једини делиоци правих бројева један и сам број. Дакле, 2,3 и 5 су примеси, али 4, 8 и 12 нису примарни. Примјећујемо да, пошто у главном броју морају бити два фактора, број 1 је
не главни.Решење за мале бројеве
Решење овог проблема је једноставно за мали број Икс. Све што треба да урадимо је да једноставно пребројимо број прајдова који су мањи или једнаки Икс. Поделимо број примања мањи или једнак Икс по броју Икс.
На пример, да бисмо пронашли вероватноћу да је прајмер изабран од 1 до 10, морамо да поделимо број прајдова са 1 на 10 на 10. Бројеви 2, 3, 5, 7 су примарни, тако да је вероватноћа да се одабере праизведба 4/10 = 40%.
Вероватноћа да се изабере прашина између 1 и 50 може се наћи на сличан начин. Примери који су мањи од 50 су: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 и 47. Постоји 15 примера мање од или једнаких 50. Према томе, вероватноћа да се приме изабере насумично је 15/50 = 30%.
Овај процес се може извести једноставним бројењем прајдова све док имамо листу прајдова. На пример, постоји 25 примера мањих или једнаких 100. (Према томе, вероватноћа да је насумично изабрани број од 1 до 100 примарни је 25/100 = 25%.) Међутим, ако немамо листу рачунарских вредности, може се рачунати застрашујуће одредити скуп правих бројева који су мањи или једнаки датом број Икс.
Теорем броја премијера
Ако немате рачунајући број прајдова који је мањи или једнак Икс, онда постоји алтернативни начин да се реши овај проблем. Решење укључује математички резултат познат као теорема правог броја. Ово је изјава о целокупној расподјели прашуме и може се користити за приближавање вероватноће коју покушавамо да утврдимо.
Теорем правог броја каже да их има отприлике Икс / лн (Икс) правих бројева који су мањи или једнаки Икс. Овде лн (Икс) означава природни логаритам Иксили другим речима логаритам са базом број е. Као вредност Икс повећава се апроксимација побољшава, у смислу да видимо смањење релативне грешке између броја прајдова мањих од Икс и израз Икс / лн (Икс).
Примена теорема почетног броја
Резултат теореме правог броја можемо да искористимо да решимо проблем који покушавамо да решимо. Знамо по теореми једноставног броја да их има отприлике Икс / лн (Икс) правих бројева који су мањи или једнаки Икс. Надаље, има их укупно Икс позитивни цели бројеви мањи или једнаки Икс. Стога је вероватноћа да је насумично изабрани број у овом распону главни (Икс / лн (Икс) ) /Икс = 1 / лн (Икс).
Пример
Сада можемо да искористимо овај резултат да би се приближила вероватноћа да насумично изаберемо примарни број од првог милијарде цели бројеви. Израчунавамо природни логаритам милијарду и видимо да је лн (1,000,000,000) приближно 20,7, а 1 / лн (1,000,000,000) отприлике 0,0483. Дакле, имамо око 4,83% вероватноће да насумично изаберемо прво од првобројних бројева.