Шта су вероватни аксиоми?

Једна стратегија у математици је да започнемо с неколико изјава, а затим из тих изјава изградимо више математике. Почетне изјаве су познате као аксиоми. Аксиом је типично нешто што је математички јасно. Из релативно кратког списка аксиома, дедуктивна се логика користи за доказивање других изјава, названих теоремама или пропозицијама.

Подручје математике познато као вероватноћа не разликује се. Вероватноћа се може свести на три аксиома. Прво је то урадио математичар Андреи Колмогоров. Шака аксиома који су у основи вероватноће може се користити за закључивање свих сорти резултата. Али који су то аксиоми вероватноће?

Да бисмо разумели аксиоме вероватноће, прво морамо да разговарамо о неким основним дефиницијама. Претпостављамо да имамо скуп резултата који се називају простор узорка С. Овај узорак простора може се сматрати универзалним сетом за ситуацију коју проучавамо. Простор узорка састоји се од подскупова који се називају догађаји Е₁, Е₂,..., Е_н.

Такође претпостављамо да постоји начин додељивања вероватноће било ком догађају

Први аксиом вероватноће је да је вероватноћа било ког догађаја ненегативни реални број. То значи да је најмања што вероватноћа икада може бити једнака нули и да не може бити бесконачна. Скуп бројева које можемо користити су стварни бројеви. То се односи и на рационалне бројеве, познате и као фракције, и на ирационалне бројеве који се не могу написати као фракције.

Једна ствар коју треба напоменути је да овај аксиом не говори о томе колико велика може бити вероватноћа неког догађаја. Аксиом елиминише могућност негативних вероватноћа. Она одражава идеју да је најмања вероватноћа, резервисана за немогуће догађаје, једнака нули.

Други аксиом вероватноће је да је вероватноћа целог простора узорка једна. Симболично пишемо П(С) = 1. Имплицит у овом аксиому је предоџба да је узорак простора све могуће за наш експеримент вероватноће и да нема догађаја изван простора узорка.

Сам по себи, овај аксиом не поставља горњу границу вероватноће догађаја који нису цео простор узорка. То зрцали да нешто са апсолутном сигурношћу има вероватноћу 100%.

Трећи аксиом вероватноће бави се међусобно искључивим догађајима. Ако Е₁ и Е₂ су међусобно искључују, што значи да имају празан пресек и ми користимо У за означавање уније П(Е₁ У Е₂ ) = П(Е₁) + П(Е₂).

Аксиом заправо покрива ситуацију са неколико (чак и изразито бесконачних) догађаја, од којих је сваки пар међусобно искључиви. Све док се то догоди, вероватноћа синдиката догађаја је исти као збир вероватноћа:

П(Е₁ У Е₂ У... У Е_н ) = П(Е₁) + П(Е₂) +... + Е_н

Иако се овај трећи аксиом можда не чини толико корисним, видећемо да је у комбинацији са друга два аксиома заиста прилично моћан.

Три аксиома постављају горњу границу вероватноће било ког догађаја. Означаваћемо комплемент догађаја Е од стране Е^Ц. Из теорије скупова, Е и Е^Ц имају празан раскрсницу и међусобно се искључују. у наставку Е У Е^Ц = С, цео простор узорка.

Ове чињенице, у комбинацији са аксиомима дају нам:

1 = П(С) = П(Е У Е^Ц) = П(Е) + П(Е^Ц) .

Прераспоредимо горњу једначину и видимо то П(Е) = 1 - П(Е^Ц). Пошто знамо да вероватноће морају бити ненегативне, сада имамо да је горња граница вероватноће било ког догађаја 1.

Преуређењем формуле поново имамо П(Е^Ц) = 1 - П(Е). Из ове формуле такође можемо закључити да је вероватноћа да се догађај не догоди један минус минус вероватноће да се он догоди.

Горња једначина такође нам омогућава начин израчунавања вероватноће немогућег догађаја, означеног празним скупом. Да бисте то видели, подсетите се да је празан скуп у овом случају комплемент универзалног скупа С^Ц. Пошто је 1 = П(С) + П(С^Ц) = 1 + П(С^Ц), по алгебри коју имамо П(С^Ц) = 0.

Наведено је само пар примјера својстава која се могу доказати директно из аксиома. Вероватно је много више резултата. Али све ове теореме су логична проширења из три аксиоме вероватноће.