Када се бавимо теорија скупова, постоји низ операција за прављење нових сетова од старих. Једна од најчешћих операција скупа назива се раскрсница. Једноставно речено, пресек две групе А и Б је скуп свих елемената који су оба А и Б имају заједничко.
Погледаћемо детаље који се тичу пресека у теорији скупова. Као што ћемо видети, кључна реч овде је реч "и".
Пример
За пример како се пресеци два скупа формирају а нови сет, размотримо комплете А = {1, 2, 3, 4, 5} и Б = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Да бисмо пронашли пресек ова два скупа, морамо да откријемо који елементи имају заједничког. Бројеви 3, 4, 5 су елементи обе групе, дакле пресеци А и Б је {3. 4. 5].
Нотација за раскрсницу
Поред разумевања концепата који се тичу операција теорије скупова, важно је знати и читање симбола који се користе за означавање ових операција. Симбол за пресек понекад се замењује речима „и“ између два скупа. Ова реч сугерира компактније ознаке за раскрсницу која се обично користи.
Симбол који се користи за пресек два скупа
А и Б даје А ∩ Б. Један од начина да се запамтите да се овај симбол ∩ односи на пресек је да приметите његову сличност са великим словом А, што је скраћеница за реч „и“.Да бисте видели ову нотацију на делу, вратите се на горњи пример. Овде смо имали комплете А = {1, 2, 3, 4, 5} и Б = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Дакле, написали бисмо постављену једначину А ∩ Б = {3, 4, 5}.
Раскрсница са празним сетом
Један основни идентитет који укључује пресек показује нам шта се дешава када узмемо пресек било којег скупа са празним сетом, који је означен са # 8709. Празан скуп је скуп без елемената. Ако у барем једном скупу нема елемената за које покушавамо пронаћи пресек, два скупа немају заједничке елементе. Другим речима, пресек било којег скупа са празан сет даће нам празан сет.
Овај идентитет постаје још компактнији са употребом наше нотације. Имамо идентитет: А ∩ ∅ = ∅.
Раскрсница са универзалним сетом
За другу крајност, шта се дешава када испитамо пресек скупа са универзалним скупом? Слично као и реч универзум се у астрономији користи за значење свега, универзални скуп садржи сваки елемент. Из тога слиједи да је сваки елемент нашег скупа такође елемент универзалног скупа. Стога је пресек било којег скупа са универзалним скупом скуп који смо започели.
Опет, наша нота нам помаже да сажето изразимо овај идентитет. За било који сет А и универзални сет У, А ∩ У = А.
Остали идентитети који укључују раскрсницу
Постоји много више постављених једначина које укључују употребу пресека. Наравно, увек је добро вежба користећи језик теорије скупова. За све сетове А, и Б и Д имамо:
- Рефлекиве Пропертиес: А ∩ А =А
- Цоммутативе Проперти: А ∩ Б = Б ∩ А
- Ассоциативе Проперти: (А ∩ Б) ∩ Д =А ∩ (Б ∩ Д)
- Дистрибутивност: (А ∪ Б) ∩ Д = (А ∩ Д)∪ (Б ∩ Д)
- ДеМорган-ов закон И: (А ∩ Б)Ц = АЦ ∪ БЦ
- ДеМорган-ов закон ИИ: (А ∪ Б)Ц = АЦ ∩ БЦ