Разумевање еквивалентних једначина у алгебри

Еквивалентне једначине су системи једначина који имају иста решења. Препознавање и решавање еквивалентних једначина је драгоцена вештина, не само у алгебра цласс али и у свакодневном животу. Погледајте примјере еквивалентних једначина, како их ријешити за једну или више варијабли и како можете користити ову вјештину изван учионице.

Кључне Такеаваис

Најједноставнији примери еквивалентних једначина немају варијабле. На пример, ове три једначине су једнаке једнакој:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Препознавање ових једначина је еквивалентно сјајно, али не посебно корисно. Обично, проблем еквивалентне једначине тражи да се решите за променљиву да бисте видели да ли је иста (иста) корен) као онај у другој једначини.

На пример, следеће једначине су еквивалентне:

• к = 5
• -2к = -10

У оба случаја је к = 5. Како то знамо? Како то решите за једнаџбу "-2к = -10"? Први корак је познавање правила еквивалентних једначина:

• Додавање или одузимањем истог броја или израза на обе стране једначине добије се једнака једначина.
• Умножавањем или дељењем обе стране једначине са истим не-нултим бројем добива се једнака једначина.
• Подизање обе стране једначине на иста необична снага или узимање истог чудног корена произвести ће једнаку једначину.
• Ако су обе стране једначине не-негативан, подизање обе стране једначине на исту равномерну снагу или узимање истог равномерног корена ће дати еквивалентну једначину.

Проводећи ова правила у праксу, утврдите да ли су ове две једначине једнаке:

• к + 2 = 7
• 2к + 1 = 11

Да бисте то решили, за сваки морате пронаћи „к“ једначина. Ако је "к" исти за обе једначине, тада су једнаки. Ако је "к" различит (тј. Једнаџбе имају различито коријење), тада једнаџбе нису једнаке. За прву једначину:

• к + 2 = 7
• к + 2 - 2 = 7 - 2 (одузимајући обе стране истим бројем)
• к = 5

За другу једначину:

• 2к + 1 = 11
• 2к + 1 - 1 = 11 - 1 (одузимање обе стране истим бројем)
• 2к = 10
• 2к / 2 = 10/2 (дељење обе стране једначине на исти број)
• к = 5

Дакле, да, две једначине су еквивалентне јер је к = 5 у сваком случају.

Можете користити једнаке једначине у свакодневном животу. Посебно је корисно приликом куповине. На пример, свиђа вам се одређена мајица. Једна компанија нуди мајицу за 6 долара и отпрему за 12 долара, док друга компанија нуди мајицу за 7,50 долара и испоруку 9 долара. Која кошуља има најбољу цену? Колико мајица (можда их желите набавити за пријатеље) бисте морали да купите да би цена била иста за обе компаније?

Да бисте решили овај проблем, нека је "к" број кошуља. За почетак, поставите к = 1 за куповину једне мајице. За компанију бр. 1:

• Цена = 6к + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = 18 УСД

За компанију бр. 2:

• Цена = 7,5к + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,50 УСД

Дакле, ако купујете једну мајицу, друга компанија нуди бољу понуду.

Да бисте пронашли тачку у којој су цене једнаке, нека "к" остане број кошуља, али поставите две једначине једнаке другој. Решите за „к“ да бисте пронашли колико мајица ћете морати да купите:

• 6к + 12 = 7,5к + 9
• 6к - 7,5к = 9 - 12 (одузимање исти бројеви или изрази са сваке стране)
• -1.5к = -3
• 1,5к = 3 (дели обе стране на исти број, -1)
• к = 3 / 1,5 (дели обе стране са 1,5)
• к = 2

Ако купите две мајице, цена је иста, без обзира где их добијате. Можете да користите исту математику да одредите која компанија вам даје бољи посао са већим поруџбинама и да израчунате колико ћете уштедјети користећи једну компанију преко друге. Видите, алгебра је корисна!

Ако имате две једначине и две непознанице (к и и), можете одредити да ли су два низа линеарних једначина једнака.

На пример, ако вам се дају једначине:

• -3к + 12и = 15
• 7к - 10и = -2

Можете одредити да ли је следећи систем еквивалентан:

• -к + 4и = 5
• 7к -10и = -2

До реши овај проблем, пронађите "к" и "и" за сваки систем једначина. Ако су вредности исте, тада су системи једначина једнаки.

Почните с првим сетом. Да решимо две једначине са две Променљиве, изоловајте једну променљиву и повежите њено решење у другу једначину. Да бисте изолирали променљиву "и":

• -3к + 12и = 15
• -3к = 15 - 12и
• к = - (15 - 12и) / 3 = -5 + 4и (додајте за "к" у другој једначини)
• 7к - 10и = -2
• 7 (-5 + 4и) - 10и = -2
• -35 + 28и - 10и = -2
• 18и = 33
• и = 33/18 = 11/6

Сада, укључите „и“ назад у било коју једнаџбу да бисте решили за „к“:

• 7к - 10и = -2
• 7к = -2 + 10 (11/6)

Ако прођете кроз ово, на крају ћете добити к = 7/3.

Да одговорим на питање, ти могао примените исте принципе на други низ једнаџби да бисте решили за "к" и "и" да бисте установили да, они су заиста једнаки. Лако се загушити у алгебри, тако да је добра идеја да проверите свој рад помоћу ан онлине екуатион солвер.

Међутим, паметни ученик приметиће да су два низа једначина једнака а да не направите тешке прорачуне уопште. Једина разлика између прве једначине у сваком скупу је та што је прва три пута већа од друге (еквивалентна). Друга једначина је потпуно иста.