Вероватноћа да се ваља Јахтзее

Иахтзее је игра с коцкицама која укључује комбинацију шансе и стратегије. Играч започиње с пребацивањем пет коцкица. Након ове ролне, играч може одлучити да поново ротира било који број коцкица. Највише су три рола за свако скретање. Након ова три ролна, резултат коцкица се уписује на листу резултата. Овај резултат садржи различите категорије, као што су пуна кућа или велика равна. Свака од категорија задовољна је различитим комбинацијама коцкица.

Најтежа категорија за попуњавање је категорија Јахтзееја. Иахтзее настаје када играч избаци пет од истог броја. Колико је мало вероватно да је Иахтзее? Ово је проблем много сложенији од проналажења вероватноће два или чак три коцке. Главни разлог је тај што постоји много начина да се добије пет одговарајућих коцкица током три котрљања.

Можемо израчунати вероватноћу котрљања Иахтзее-а користећи формулу комбинаторике за комбинације и разбијајући проблем на неколико међусобно искључују случајева.

Најлакши случај за разматрање је добијање Иахтзее-а одмах на првој листи. Прво ћемо погледати

Вероватноћа котрљања двојке је 1/6, а исход сваке матрице је независан од осталих. Тако је вероватноћа да се ваља пет петица (1/6) к (1/6) к (1/6) к (1/6) к (1/6) = 1/7776. Вероватноћа да се уврсти пет од било којег другог броја је такође 1/7776. Пошто на матрицу постоји укупно шест различитих бројева, горњу вероватноћу множимо са 6.

То значи да је вероватноћа да ће Иахтзее на првом ролу бити 6 к 1/7776 = 1/1296 = 0,08 процената.

Ако избацимо било шта друго од пет врста прве ролице, мораћемо да поново бацимо неке од наших коцкица како бисмо покушали добити Иахтзее. Претпоставимо да наша прва рола има четири врсте. поново бисмо извртали ону матрицу која се не подудара и затим би добили Иахтзее у овом другом колу.

Вероватноћа да се на овај начин котрља укупно пет двојки утврђује се на следећи начин:

1. На првом списку имамо четири двојке. Пошто постоји вероватноћа 1/6 котрљања два, а 5/6 не ролања два, множимо (1/6) к (1/6) к (1/6) к (1/6) к ( 5/6) = 5/7776.
2. Било који од пет коцкане коцкице могу бити не-двоје. Ми користимо нашу комбинацијску формулу за Ц (5, 1) = 5 да бројимо на колико начина можемо да искотримо четири двојке и нешто што није двојица.
3. Помножимо и видимо да је вероватноћа да се на прву ролу баци тачно четири двоседа 25/7776.
4. На другом ролу морамо израчунати вероватноћу котача један два. Ово је 1/6. Према томе, вероватноћа да се на тај начин котрља Иахтзее од двојке износи (25/7776) к (1/6) = 25/46656.

Да бисте на овај начин сазнали вероватноћу котрљања било ког Иахтзее-а, пронађите тако што ћете горњу вероватноћу помножити са 6, јер на матрицу постоји шест различитих бројева. То даје вероватноћу 6 к 25/46656 = 0,32 процента.

Али ово није једини начин да се Иахтзее котрља са два рола. Све следеће вероватноће налазе се на готово исти начин као горе:

• Могли бисмо избацити три врсте, а затим две коцкице које одговарају нашем другом колу. Вероватноћа за то је 6 к Ц (5, 3) к (25/7776) к (1/36) = 0,54 процента.
• Могли бисмо бацити одговарајући пар, а на нашем другом ролу три коцкице које се подударају. Вероватноћа за то је 6 к Ц (5, 2) к (100/7776) к (1/216) = 0,36 процената.
• Могли бисмо бацити пет различитих коцкица, сачувати једну матрицу из нашег првог ролна, а затим бацити четири коцкице које одговарају на другом ролу. Вероватноћа за то је (6! / 7776) к (1/1296) = 0,01 процента.

Горе наведени случајеви се међусобно искључују. То значи да да израчунамо вероватноћу котрљања Иахтзее-а у два рола, збројимо горње вероватноће и имамо приближно 1,23 процента.

За најсложенију ситуацију до сада, сада ћемо испитати случај где користимо све три наше ролне да добијемо Иахтзее. То бисмо могли учинити на више начина и морамо их објаснити.

Вероватноће ових могућности се израчунавају у наставку:

• Вероватноћа да се котрљају четири врсте, а онда ништа, а затим подударање последње матрице на последњем ролни је 6 к Ц (5, 4) к (5/7776) к (5/6) к (1/6) = 0,27 проценат.
• Вероватноћа котрљања три врсте, а затим ништа, затим подударање са исправним паром на последњем ролу је 6 к Ц (5, 3) к (25/7776) к (25/36) к (1/36) = 0,37 одсто.
• Вероватноћа котрљања одговарајућег пара, а затим ништа, затим подударање са тачном три врсте на трећем ролу је 6 к Ц (5, 2) к (100/7776) к (125/216) к (1/216 ) = 0,21 процента.
• Вероватноћа превртања једног матрице, а онда ништа не одговара овом, а затим поклапање са тачно четири врсте на трећем ролу је (6! / 7776) к (625/1296) к (1/1296) = 0,003 процента.
• Вероватноћа да ће се три врсте откотрљати, а на следећем колу ће ускладити додатну матрицу, након чега следи подударање с петом матрицом на трећем ролном је 6 к Ц (5, 3) к (25/7776) к Ц (2, 1) к (5/36) к (1/6) = 0,89 проценат.
• Вероватноћа котрљања пара, подударање додатног пара на следећем ролни, а затим подударање пета матрица на трећем ролну је 6 к Ц (5, 2) к (100/7776) к Ц (3, 2) к (5/216) к (1/6) = 0,89 проценат.
• Вероватноћа котрљања пара, подударање додатних матрица на следећем ролу, након чега следи подударање са последње две коцкице на трећем ролни су 6 к Ц (5, 2) к (100/7776) к Ц (3, 1) к (25/216) к (1/36) = 0,74 процента.
• Вероватноћа да ће се неки ролати, други ће умрети да га усклади са другим ролом, а затим три врсте на трећем ролну је (6! / 7776) к Ц (4, 1) к (100/1296) к (1/216) = 0,01 процента.
• Вероватноћа превртања једне врсте, три врсте да се подударају са другом ролом, а затим меча на трећем ролну је (6! / 7776) к Ц (4, 3) к (5/1296) к (1/6) = 0,02 процента.
• Вероватноћа да се једна врста рола, пар ће се подударати на другом ролу, а затим други пар који ће се слагати на трећем ролну је (6! / 7776) к Ц (4, 2) к (25/1296) к (1/36) = 0,03 процента.

Све горе наведене вероватноће збрајамо да бисмо одредили вероватноћу котрљања Иахтзееја у три ролне коцкица. Ова вероватноћа износи 3,43 процента.

Вероватноћа Иахтзее-а у једном колу је 0,08 процената, вероватноћа Иахтзее-а у два ролна је 1,23 процента, а вероватноћа Иахтзее-а у три ролне 3,43 процента. Пошто су сваки од њих међусобно искључиви, збрајамо вероватноће заједно. То значи да је вероватноћа да се добије Иахтзее у датом потезу отприлике 4,74 процената. Да ово размислимо, с обзиром да је 1/21 приближно 4,74 процента, случајно сам играч треба очекивати Јахтзееа једном у 21 кругу. У пракси може потрајати дуже јер се почетни пар може одбацити да би се покренуло за нешто друго, као што је равно.