Биномне дистрибуције су важна класа дискретних дистрибуције вероватноће. Ове врсте дистрибуција су низ н независна суђења Берноулију, од којих свако има сталну вероватноћу п успеха. Као и за сваку расподелу вероватноће, и ми бисмо желели да знамо шта значи и шта значи. За ово се заправо питамо: „Шта је то Очекивана вредност о биномној дистрибуцији? "
Интуиција вс. Доказ
Ако пажљиво размислимо о биномна дистрибуција, није тешко утврдити очекивано вредност ове врсте расподеле вероватноће је нп За неколико брзих примера узмите у обзир следеће:
- Ако бацимо 100 новчића, и Икс је број глава, очекивана вредност Икс је 50 = (1/2) 100.
- Ако радимо тест вишеструког избора са 20 питања и свако питање има четири избора (само једно од што је тачно), тада би насумично нагађање значило да бисмо очекивали само (1/4) 20 = 5 питања тачно.
У оба ова примера то видимо Е [Кс] = н стр. Два случаја су једва довољна за закључак. Иако је интуиција добро средство за вођење, није довољно формирати математички аргумент и доказати да је нешто тачно. Како коначно можемо доказати да је очекивана вредност ове дистрибуције заиста
нп?Из дефиниције очекиване вриједности и функције вјероватне масе за биномна дистрибуција од н суђења вероватноће успеха п, можемо показати да се наша интуиција поклапа са плодовима математичке строгости. Морамо бити помало опрезни у свом раду и брзи у својим манипулацијама биномним коефицијентом који је дат формулом за комбинације.
Започињемо употребом формуле:
Е [Кс] = Σ к = 0н к Ц (н, к) пИкс(1-п)н - к.
Будући да је сваки израз збрајања помножен са Икс, вредност термина који одговара к = 0 биће 0, тако да заправо можемо написати:
Е [Кс] = Σ к = 1н к Ц (н, к) п Икс (1 - п) н - к .
Манипулирањем фабрикалија укључених у израз за Ц (н, к) можемо да преписујемо
к Ц (н, к) = н Ц (н - 1, к - 1).
То је тачно јер:
к Ц (н, к) = кн! / (к! (н - к)!) = н! / ((к - 1)! (н - к)!) = н (н - 1)! / (( к - 1)! ((н - 1) - (к - 1))!) = н Ц (н - 1, к - 1).
Следи да:
Е [Кс] = Σ к = 1н н Ц (н - 1, к - 1) п Икс (1 - п) н - к .
Факторирамо то н и један п из горњег израза:
Е [Кс] = нп Σ к = 1н Ц (н - 1, к - 1) п к - 1 (1 - п) (н - 1) - (к - 1) .
Промена променљивих р = к - 1 даје нам:
Е [Кс] = нп Σ р = 0н - 1 Ц (н - 1, р) п р (1 - п) (н - 1) - р .
Према биномној формули, (к + и)к = Σ р = 0 кЦ (к, р) кр ик - р горњи зброј може се преписати:
Е [Кс] = (нп) (п + (1 - п))н - 1 = нп
Горњи аргумент нас је увелико одвео. Од самог почетка само дефиницијом очекиване вредности и функције масе вероватноће за биномну дистрибуцију, доказали смо да је то што нам је рекла наша интуиција. Очекивана вредност биномна дистрибуцијаБ (н, п) је н п.