Вероватноћа пуштања пуне куће у Јахтзееју?

Игра Иахтзее укључује употребу пет стандардних коцкица. На сваком кораку, играчи добијају три роле. Након сваког пецива, може се задржати било који број коцкица с циљем да се добију одређене комбинације ових коцкица. Свака различита комбинација вреди различиту количину бодова.

Једна од ових врста комбинација назива се фулл хоусе. Попут пуне куће у игри покера, ова комбинација укључује три од одређеног броја, заједно са паром различитог броја. Пошто Иахтзее укључује случајно ваљање коцкица, ова игра се може анализирати помоћу вероватноће да се утврди колика је вероватноћа да се пуна кућа заврти у једном колу.

Почећемо тако што ћемо изнети своје претпоставке. Претпостављамо да су коцкице кориштене фер и неовисне једна о другој. То значи да имамо једноличан простор за узорке који се састоји од свих могућих ролни од пет коцкица. Иако игра Иахтзее-а омогућава три пецива, размотрићемо само случај да у једној ролни добијемо пуну кућу.

Пошто сарађујемо са униформузорак простора

Број резултата у узорку је јасан. Пошто постоји пет коцкица и свака од њих може имати један од шест различитих исхода, број резултата у простору за узорке је 6 к 6 к 6 к 6 к 6 = 6⁵ = 7776.

Затим израчунавамо број начина да се пуна кућа. Ово је тежи проблем. Да бисмо имали пуну кућу, потребне су нам три коцкице једне врсте, а затим пар другачијих коцкица. Овај проблем ћемо поделити на два дела:

• Колики је број различитих типова пуних кућа које се могу накопати?
• Који је број начина на који би се могла пребацити одређена врста пуне куће?

Једном када знамо број сваког од њих, можемо их множити заједно како бисмо добили укупан број пуних кућа које можемо извести.

Започињемо посматрањем броја различитих типова пуних кућа које се могу ваљати. Било који од бројева 1, 2, 3, 4, 5 или 6 може се користити за троје такве врсте. Постоји пет преосталих бројева за пар. Тако се могу извести 6 к 5 = 30 различитих врста комбинација пуних кућа.

На пример, могли бисмо имати 5, 5, 5, 2, 2 као једну врсту фулл хоусеа. Друга врста пуних кућа била би 4, 4, 4, 1, 1. Још један би био 1, 1, 4, 4, 4, што је другачије од претходне пуне куће јер су улоге четворке и оне измењене.

Сада одређујемо различит број начина да се рола одређена пуна кућа. На пример, свако од следећег даје нам исту пуну кућу од три четворке и две:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

Видимо да постоји најмање пет начина да се прегази одређена пуна кућа. Постоје ли други? Чак и ако наставимо набрајати друге могућности, како знати да смо их све пронашли?

Кључно за одговор на ова питања је схватити да се бавимо проблемом бројања и одредити с којом врстом бројања радимо. Постоји пет позиција, а три од њих морају бити попуњене са четири. Редослијед у којем постављамо четвороношке није важно све док су тачни положаји попуњени. Након што се утврди положај четворки, њихово постављање је аутоматски. Из тих разлога морамо размотрити комбинација од пет позиција заузетих три одједном.

За добијање користимо комбинацијску формулу Ц(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 к 4) / 2 = 10. То значи да постоји 10 различитих начина за снимање дате пуне куће.

Кад све ово саберемо, имамо наш број пуних кућа. Постоји 10 к 30 = 300 начина да се комплетна кућа добије у једном колу.

Сада вероватноћа пуне куће је једноставно израчунавање подела. Будући да постоји 300 начина да се пуна кућа заврти у једној ролни и да је могуће 7776 ролања са пет коцкица, вероватноћа да ће се фулл хоусе ископати је 300/7776, што је близу 1/26 и 3,85%. Ово је 50 пута вероватније од превртања Иахтзееја у једном колу.

Наравно, врло је вероватно да прва рола није пуна кућа. Ако је то случај, дозвољено нам је да још два ролна направимо пуну кућу много вероватнијом. Вероватноћу тога је много сложеније утврдити због свих могућих ситуација које би требало размотрити.