Вероватноће и лажљивица

Многе игре на срећу могу се анализирати помоћу математике вероватноће. У овом ћемо чланку истражити различите аспекте игре зване Лиар'с Дице. Након што опишемо ову игру, израчунаћемо вероватноће повезане са њом.

Игра Лиар’с Дице је уствари породица игара које укључују блефирање и обмању. Постоји неколико варијанти ове игре, а она иде под неколико различитих имена, попут пиратске коцке, обмане и дуда. Верзија ове игре представљена је у филму Пиратес оф тхе Кариббе: Деад Ман'с Цхест.

У верзији игре коју ћемо испитати, сваки играч има шољицу и сет истог броја коцкица. Коцкице су стандардне, шестеростране коцкице које су бројене од један до шест. Сви бацају своје коцкице, држећи их покривеним шалицом. У одговарајуће време, играч гледа свој коцкице, држећи их скривеним од свих осталих. Игра је осмишљена тако да сваки играч има савршено знање о сопственом сету коцкица, али нема сазнања о осталим коцкицама које су искочене.

Након што су сви имали прилику да погледају своје коцкице које су ваљане, почињу лицитације. На сваком кораку играч има два избора: дати вишу понуду или назовити претходну понуду лажом. Понуде се могу повећати лицитирањем веће вриједности коцкица од један до шест или лицитирањем већег броја исте вриједности коцкица.

На пример, понуда „Три двојке“ може се повећати навођењем „Четири двојке“. Такође се може повећати рекавши "Три тројке." Опћенито, ни број коцкица нити вриједности коцкица не могу се смањити.

Пошто је већина коцкица скривена од погледа, важно је знати како израчунати неке вероватноће. Знајући то, лакше је уочити које су понуде вероватно истините, а које ће бити лажи.

Прво је размишљање питати: „Колико бисмо коцкица исте врсте очекивали?“ На пример, ако бацимо пет коцкица, колико бисмо од њих очекивали да буду две? Одговор на ово питање користи идеју Очекивана вредност.

Очекивана вредност случајне варијабле је вероватноћа одређене вредности, помножена са овом вредношћу.

Вероватноћа да ће прво умрети двоје је 1/6. Пошто су коцкице неовисне једна о другој, вероватноћа да је било која од њих две је 1/6. То значи да је очекивани број ваљаних двојки 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Наравно, нема ништа посебно у резултату два. Нити је нешто посебно у вези с бројем коцкица који смо размотрили. Ако смо се откотрљали н Коцкице, онда је очекивани број било којег од шест могућих исхода н/6. Овај број је добро знати јер нам даје основну основу за испитивање понуда које су дали други.

На пример, ако играмо коцкице лажљивца са шест коцкица, очекивана вредност било које од вредности 1 до 6 је 6/6 = 1. То значи да бисмо требали бити скептични ако неко понуди више од једне вредности. Дугорочно бисмо израчунали просек сваке од могућих вредности.

Претпоставимо да бацимо пет коцкица и желимо да откријемо вероватноћу да се котрљају две тројке. Вероватноћа да је матрица тројка је 1/6. Вероватноћа да умре није три је 5/6. Роле ових коцкица су независни догађаји, па вероватноће множимо заједно користећи правило множења.

Вероватноћа да су прве две коцке три, а остале коцке нису трице, даје следећи производ:

(1/6) к (1/6) к (5/6) к (5/6) к (5/6)

Прве две коцкице које имају троје је само једна могућност. Коцкице које су трице могу бити било које две од пет коцкица које бацамо. Означавамо матрицу која није три са *. Следећи су могући начини да се од пет рола добију две тројке:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Видимо да постоји десет начина да се од пет коцкица искоче тачно две.

Сада множимо нашу вероватноћу изнад са 10 начина на које можемо да имамо ову конфигурацију коцкица. Резултат је 10 к (1/6) к (1/6) к (5/6) к (5/6) к (5/6) = 1250/7776. То износи отприлике 16%.

Сада генерализирамо горњи пример. Сматрамо вероватноћом котрљања н коцкице и добијање тачно к које имају одређену вредност.

Баш као и раније, вероватноћа промене броја који желимо је 1/6. Вероватноћу да се овај број не помери даје податак од правило комплемента као 5/6. Желимо к наше коцкице да буде одабрани број. То значи да н - к су број који није онај који желимо. Вероватноћа првог к коцка је одређени број са осталим коцкицама, а не овај број је:

(1/6)^к(5/6)^{н - к}

Било би мучно, да не спомињемо дуготрајно набрајање свих могућих начина да се коцка одређена конфигурација коцкица. Зато је боље користити наше принципе бројања. Кроз ове стратегије видимо да рачунамо комбинације.

Постоје Ц (н, к) начине ролања к од одређених врста коцкица н коцке. Овај број је дат формулом н!/(к!(н - к)!)

Када све саставимо, то видимо када се котрљамо н коцкице, вероватноћа тачно к од којих је одређени број дат формулом:

[н!/(к!(н - к)!)] (1/6)^{к(5/6)н - к}

Постоји још један начин да се размотри ова врста проблема. Ово укључује биномна дистрибуција са вероватноћом успеха коју је дао п = 1/6. Тачно формула к од ових коцкица одређени број познат је као функција масе вероватноће за бином дистрибуција.

Друга ситуација коју би требало размотрити је вероватноћа да се откотрља најмање одређени број одређене вредности. На пример, када бацимо пет коцкица, колика је вероватноћа да се откотрљају најмање три? Могли бисмо смотати три, четири или пет. Да бисмо одредили вероватноћу коју желимо да пронађемо, сабирамо три вероватноће.

Испод имамо табелу вероватноћа тачног добијања к од одређене вредности када бацамо пет коцкица.

Затим ћемо размотрити следећу табелу. Даје вероватноћу да се котрља бар одређени број вредности када бацимо укупно пет коцкица. Видимо да, иако је велика вероватноћа да се заврти бар једна 2, није вероватно да ће се одвести најмање четири.