Вероватноће за ваљање три коцке

Коцкице пружају сјајне илустрације за појмови у вероватноћи. Најчешће кориштене коцкице су коцке са шест страна. Овде ћемо видети како израчунати вероватноће за ваљање три стандардне коцкице. Релативно је стандардни проблем израчунати вероватноћу износа добијеног од котрљање две коцкице. Постоји укупно 36 различитих пецива са две коцкице, а свака сума је од 2 до 12.Како се проблем мења ако додамо још коцкица?

Баш као што једна смрт има шест исхода, а две коцке имају 6² = 36 резултата, експеримент вероватноће котрљања три коцке има 6³ = 216 резултата. Ова идеја додатно се генерализира за више коцкица. Ако се ваљамо н коцкице, онда их има 6^н исходи.

Такође можемо размотрити могуће износе од бацања неколико коцкица. Најмања могућа сума постоји када су све коцкице најмање, или свака. Ово даје суму од три када смо бацили три коцке. Највећи број на матрици је шест, што значи да се највећи могући зброј појављује када су све три коцке шест. Збир ове ситуације је 18.

Када н коцкице су намотане, најмања могућа сума је н а највећа могућа сума је 6н.

• Постоји један могући начин да три коцке могу укупно 3
• 3 начина за 4
• 6 за 5
• 10 за 6
• 15 за 7
• 21 за 8
• 25 за 9
• 27 за 10
• 27 за 11
• 25 за 12
• 21 фор 13
• 15 за 14
• 10 за 15
• 6 за 16
• 3 за 17
• 1 за 18

Као што је горе речено, за три коцке могући износи укључују сваки број од три до 18. Вероватноће се могу израчунати коришћењем стратегије бројања и препознајући да тражимо начине да поделимо један број на тачно три цела броја. На пример, једини начин да се добије сума три је 3 = 1 + 1 + 1. Пошто је свака матрица независна од осталих, зброј од четири може се добити на три различита начина:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

Даље бројање аргумената може се користити за проналажење броја начина формирања осталих сума. Следе поделе за сваку суму:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Када три различита броја формирају партицију, као што је 7 = 1 + 2 + 4, постоје 3! (3к2к1) различитих начина пермутинг ови бројеви. Дакле, ово би се рачунало на три исхода у узорку. Када два различита броја формирају партицију, постоје три различита начина пермурирања тих бројева.

Поделимо укупан број начина за добијање сваке суме са укупним бројем резултата у узорак простораили 216. Резултати су:

• Вероватноћа суме 3: 1/216 = 0,5%
• Вероватноћа суме 4: 3/216 = 1,4%
• Вероватноћа суме 5: 6/216 = 2,8%
• Вероватноћа суме 6: 10/216 = 4,6%
• Вероватноћа суме од 7: 15/216 = 7,0%
• Вероватноћа суме од 8: 21/216 = 9,7%
• Вероватноћа суме 9: 25/216 = 11,6%
• Вероватноћа суме од 10: 27/216 = 12,5%
• Вероватноћа суме од 11: 27/216 = 12,5%
• Вероватноћа суме од 12: 25/216 = 11,6%
• Вероватноћа суме од 13: 21/216 = 9,7%
• Вероватноћа суме од 14: 15/216 = 7,0%
• Вероватноћа суме од 15: 10/216 = 4,6%
• Вероватноћа суме 16: 6/216 = 2,8%
• Вероватноћа суме од 17: 3/216 = 1,4%
• Вероватноћа суме од 18: 1/216 = 0,5%

Као што се види, екстремне вредности 3 и 18 су најмање вероватне. Збројеви који су тачно у средини су највјероватнији. То одговара ономе што је уочено приликом ваљања две коцкице.