Математичка својства таласа

Физички таласи, или механички таласи, формирају се путем вибрације неког медијума, било да је то низ, земаљска кора или честице гасова и течности. Таласи имају математичка својства која се могу анализирати како би се разумело кретање таласа. Овај чланак представља ова општа својства таласа, а не како их применити у специфичним физичким ситуацијама.

Постоје две врсте механичких таласа.

А је такав да су помаци медијума окомити (попречни) на смер кретања таласа по медијуму. Вибрирање низа у периодичном кретању, па се таласи крећу дуж њега, је попречни талас, као што су таласи у океану.

А уздужни талас је такав да су помаци медијума напред-назад у истом смеру као и сам талас. Звучни талас, где се честице ваздуха гурају у правцу вожње, пример је лонгитудиналног таласа.

Иако ће се таласи о којима се говори у овом чланку односити на путовање у медијуму, овде уведена математика може се користити за анализу својстава немеханичких таласа. На пример, електромагнетно зрачење може да путује кроз празан простор, али ипак има иста математичка својства као и остали таласи. На пример, тхе

1. Таласи се могу посматрати као поремећај у медију око равнотежног стања, који је углавном у мировању. Енергија овог поремећаја је оно што изазива кретање таласа. Базен воде је у равнотежи када нема таласа, али чим се у њега баци камен, равнотежа честица се поремети и почиње кретање таласа.
2. Сметање таласа путује, или предлагачи, дефинитивно брзином, названом таласна брзина (в).
3. Таласи преносе енергију, али није битно. Сам медиј не путује; појединачне честице се покрећу напријед-натраг или нагоре и надоле око положаја равнотеже.

Да бисмо математички описали кретање таласа, поменућемо концепт а таласна функција, који описује положај честице у медијуму у било којем тренутку. Најосновнија таласна функција је синусни талас, или синусоидни талас, а периодични талас (тј. талас са понављајућим кретањем).

Важно је напоменути да таласна функција не приказује физички талас, већ је графикон померања о положају равнотеже. Ово може бити збуњујући концепт, али корисно је то што можемо користити синусоидни талас да прикажемо већину периодичних покрети, као што су кретање у кругу или њихање клатна, који не изгледају нужно таласно када гледате стварне кретање.

• таласна брзина (в) - брзина ширења таласа
• амплитуда (А) - највећа магнитуда помака из равнотеже, у СИ јединицама метара. Уопште, то је удаљеност од равнотежне средине таласа до његовог максималног помака или је половина укупног померања таласа.
• раздобље (Т) - је време за један таласни циклус (два импулса, или од гребена до гребена или корита до корита), у јединицама СИ секунди (мада се може назвати "секунди по циклусу").
• фреквенција (ф) - број циклуса у јединици времена. Јединица фреквенције СИ је хертз (Хз) и

  1 Хз = 1 циклус / с = 1 с^-1

• угаона фреквенција (ω) - је 2π пута већа од фреквенције, у СИ јединицама радијана у секунди.
• таласна дужина (λ) - удаљеност између било које две тачке на одговарајућим позицијама узастопних понављања у таласу, тако (на пример) од једног гребена или корита до другог, у СИ јединице метара.
• таласни број (к) - такође се назива константа ширења, ова корисна количина је дефинисана као 2 π подељено са таласном дужином, тако да су јединице СИ радијани по метру.
• пулс - једна полу таласна дужина, од равнотеже назад

Неке корисне једначине у дефинисању горе наведених количина су:

в = λ / Т = λ ф

ω = 2 π ф = 2 π/Т

Т = 1 / ф = 2 π/ω

к = 2π/ω

ω = вк

Вертикални положај тачке на таласу, и, може се наћи као функција хоризонталног положаја, Икси време, т, кад га погледамо. Захваљујемо љубазним математичарима што су радили овај посао за нас и добили следеће корисне једначине за опис кретања таласа:

и(к, т) = А грех ω(т - Икс/в) = А грех 2π ф(т - Икс/в)

и(к, т) = А грех 2π(т/Т - Икс/в)

и (к, т) = А грех (ω т - кк)

Једна последња карактеристика таласне функције је та примена рачуница да узмемо други дериват даје приносе таласна једначина, што је интригантан и понекад користан производ (који ћемо се још једном захвалити математичарима и прихватити, а да то не докажемо):

д²и / дк² = (1 / в²) д²и / дт²

Други дериват и у погледу Икс је еквивалентно другом деривату и у погледу т подијељено с таласном брзином таласа. Кључна корисност ове једначине је та кад год се догоди, знамо да је функција и делује као талас са таласном брзином в и стога, ситуација се може описати помоћу таласне функције.