Један од популарних начина проучавања вероватноће је бацање коцкица. Стандардни калуп има шест страна исписаних с малим тачкицама које имају бројеве 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Ако је умрет фер (и ми ћемо га) претпоставити да су сви), онда је сваки од ових исхода подједнако вероватан. Пошто је шест могућих исхода, вероватноћа добијања било које стране матрице је 1/6. Вероватноћа котрљања 1 је 1/6, вероватноћа котрљања а 1 је 1/6, и тако даље. Али шта се догађа ако додамо још један дие? Које су вероватноће за бацање две коцкице?
Вероватноћа коцкања по коцкама
Да бисмо правилно одредили вероватноћу коцкања на коцкицама, морамо да знамо две ствари:
- Величина узорак простора или скуп укупних могућих исхода
- Колико често се догађај догоди
Ин вероватноћа, догађај је одређени подскуп узорка. На пример, када се ротира само једна матрица, као у горњем примеру, простор узорка је једнак свим вредностима на матрици или скупу (1, 2, 3, 4, 5, 6). Пошто је матрица фер, сваки се број у скупу појављује само једанпут. Другим речима, фреквенција сваког броја је 1. Да бисмо одредили вероватноћу котрљања било ког од бројева на матрици, поделимо фреквенцију догађаја (1) величином простора узорка (6), што резултира вероватноћом 1/6.
Ролање две поштене коцкице више него удвостручује потешкоће израчунавања вероватноће. То је зато што котрљање једне матрице не зависи од ваљања другог. Једна рола нема утицаја на другу. Када се бавимо независним догађајима користимо правило множења. Употреба дијаграма стабла показује да постоји 6 к 6 = 36 могућих исхода избацивања две коцке.
Претпоставимо да прва матрица коју смо котрљали долази као 1. Друга матрица може бити 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Претпоставимо сада да је први умар 2. Друга поново рола може бити 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Већ смо пронашли 12 потенцијалних исхода, а тек треба да исцрпе све могућности првог умирања.
Табела вероватноће ваљања две коцке
Могући исходи вађења две коцке приказани су у табели испод. Имајте на уму да је број укупних могућих исхода једнак простору узорка првог матрице (6) помножено према простору узорка другог матрице (6), што је 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Три или више коцкица
Исти принцип важи и ако радимо на томе проблеми који укључују три коцке. Помножимо и видимо да постоји 6 к 6 к 6 = 216 могућих исхода. Како постаје незгодно писати понављано множење, можемо користити експоненте за поједностављење рада. За две коцке, има их 62 могући исходи. За три коцке, има их 63 могући исходи. Уопште, ако се ваљамо н коцкице, онда их има укупно 6н могући исходи.
Примјери проблема
Помоћу овог знања можемо решити све врсте вероватноће:
1. Две шестеростране коцкице су намотане. Колика је вероватноћа да је збир две коцке седам?
Најлакши начин за решавање овог проблема је консултовање горње табеле. Примјетићете да у сваком реду постоји по један колут ролице где је збир две коцке једнак седам. Пошто постоји шест редова, постоји шест могућих исхода где је збир две коцке једнак седам. Број укупно могућих исхода остаје 36. Опет, вероватноћу проналазимо тако што делимо фреквенцију догађаја (6) на величину узорка (36), што резултира вероватноћом 1/6.
2. Две шестеростране коцкице су намотане. Колика је вероватноћа за то збир од две коцке је три?
У претходном проблему сте можда приметили да ћелије у којима је збир две коцке једнак седам формирају дијагоналу. Исто је и овде, осим што у овом случају постоје само две ћелије у којима је збир коцкица три. То је зато што постоје само два начина за постизање овог резултата. Морате бацити 1 и 2 или морате ролати 2 и 1. Комбинације за зброј од седам су много веће (1 и 6, 2 и 5, 3 и 4, и тако даље). Да бисмо пронашли вероватноћу да је сума две коцке три, можемо поделити фреквенцију догађаја (2) на величину узорка (36), што резултира вероватноћом 1/18.
3. Две шестеростране коцкице су намотане. Колика је вероватноћа да ће бројеви на коцкицама су различите?
Поново, овај проблем можемо лако решити тако што ћете се обратити горе наведеној табели. Примјетићете да ћелије у којима су бројеви на коцкама једнаки чине дијагоналу. Има их само шест, а након што их прецртамо имамо преостале ћелије у којима су бројеви на коцкицама различити. Можемо узети број комбинација (30) и поделити га на величину простора узорка (36), што резултира вероватноћом 5/6.