Шта је број? Па, то зависи. Постоји мноштво различитих врста бројева, сваки са својим одређеним својствима. Једна врста броја на којој статистика, вероватноћа и на чему се заснива већи део математике, назива се стварним бројем.
Да бисмо сазнали шта је прави број, прво ћемо направити кратак обилазак других врста бројева.
Врсте бројева
Ми прво учимо о бројевима да бисмо их рачунали. Почели смо да прстима упарујемо бројеве 1, 2 и 3. Тада смо и даље ишли највише што смо могли, што вероватно није било тако високо. Ови бројеви или природни бројеви били су једини бројеви о којима смо знали.
Касније, када се бавимо одузимањем, негативан уведени су читави бројеви. Скуп позитивних и негативних целих бројева назива се скуп целих бројева. Убрзо након тога разматрани су рационални бројеви, који се називају и фракције. Пошто се сваки цели број може написати као уломак са 1 у називнику, можемо рећи да цели бројеви чине подскуп рационалних бројева.
Тхе Стари Грци схватио је да се не могу сви бројеви формирати као део. На пример, квадратни корен од 2 не може се изразити као део. Ове врсте бројева називамо ирационалним бројевима. Ирационални бројеви обилују, а помало изненађујуће у одређеном смислу постоје ирационалнији бројеви него рационални бројеви. Остали ирационални бројеви укључују
пи и е.Децимал Екпансионс
Сваки стварни број може се записати као децимални број. Различите врсте стварних бројева имају различите врсте децималних експанзија. Децимална експанзија рационалног броја се завршава, као што је 2, 3.25 или 1.2342, или се понавља, као што је .33333.. . Или .123123123.. . За разлику од тога, децимална експанзија ирационалног броја је непрестана и не понављајућа. То можемо видети у децималном ширењу пи-а. Постоји непрекидни низ цифара за пи, и још више, не постоји низ цифара који се понавља у недоглед.
Визуализација стварних бројева
Стварне бројеве можете визуализовати тако што ћете сваки од њих повезати са једном од бесконачног броја тачака дуж праве линије. Стварни бројеви имају редослед, што значи да за било која два различита реална броја можемо рећи да је један већи од другог. Према договору, померање улево, дуж линије стварног броја, одговара мањим и мањим бројевима. Помицање удесно дуж линије стварног броја одговара већим и већим бројевима.
Основна својства стварних бројева
Стварни бројеви понашају се попут других бројева са којима смо навикли да имамо посла. Можемо их збрајати, одузимати, множити и делити (све док их не поделимо на нулу). Редослед сабирања и множења није битан, јер постоји комутативно својство. Дистрибутивно својство нам говори како множење и сакупљање утичу једни на друге.
Као што је претходно поменуто, стварни бројеви поседују редослед. С обзиром на било која реална броја Икс и и, знамо да је тачно и једно од следећег:
Икс = и, Икс < и или Икс > и.
Још једна особина - комплетност
Својство које стварне бројеве поставља осим осталих скупова бројева, попут рационалних, је својство познато као комплетност. Комплетност је помало техничко објаснити, али интуитивна идеја је да скуп рационалних бројева има недостатака у томе. Скуп реалних бројева нема празнина, јер је потпун.
Као илустрацију погледаћемо редослед рационалних бројева 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,... Сваки израз овог низа је апроксимација за пи, добијен скраћивањем децималне експанзије за пи. Термини ове секвенце ближе су и пи. Међутим, као што смо поменули, пи није рационалан број. Морамо да користимо ирационалне бројеве да бисмо увукли рупе бројевне линије до којих долази само узимајући у обзир рационалне бројеве.
Колико стварних бројева?
Не треба чудити да постоји бесконачан број стварних бројева. То се може видети прилично лако када узмемо у обзир да цели бројеви чине подскуп стварних бројева. То смо такође могли видети увидом да бројчана линија има бесконачан број тачака.
Оно што изненађује је да је бесконачност која се користи за бројање стварних бројева другачије врсте од бесконачности која се користи за бројање целих бројева. Читави бројеви, цели бројеви и рационалне вредности су привидно бесконачни. Скуп реалних бројева је неограничено бесконачан.
Зашто их звати стварним?
Стварни бројеви добивају своје име да их раздвоје од још веће генерализације појма броја. Замишљени број ја је дефинисан као квадратни корен негативног. Било који стварни број помножен са ја такође је познат као имагинарни број. Замишљени бројеви дефинитивно протежу нашу концепцију броја, јер они уопште нису оно о чему смо размишљали када смо први пут научили да бројимо.