Векторска математика: основни, али свеобухватан увод

Ово је основни, иако надам се прилично свеобухватан увод у рад са векторима. Вектори се манифестују на најразличитије начине, од померања, брзине и убрзања до сила и поља. Овај чланак посвећен је математици вектора; њихова примена у специфичним ситуацијама биће решена на другом месту.

А вектоска величина, или векторски, пружа информације не само о величини већ и о смеру количине. Када дајете упуте кући, није довољно рећи да је удаљена 10 миља, већ се мора упутити и правац тих 10 миља како би информације биле корисне. Варијабле које су вектори ће бити означене подебљаном променљивошћу, мада је уобичајено видети векторе означене малим стрелицама изнад променљиве.

Као што не кажемо да је друга кућа удаљена -10 миља, јачина вектора је увек позитиван број, тачније апсолутна вредност "дужине" вектора (мада је количина не може бити дужина, може бити брзина, убрзање, сила, итд.) Негативни предњи вектор не указује на промену величине, већ у правцу векторски.

У горњим примерима, удаљеност је скаларна количина (10 миља), али

А јединични вектор је вектор који има величину један. Вектор који представља јединични вектор обично је такође подебљан, иако ће имати карат (^) изнад ње да назначи јединствену природу променљиве. Јединица вектора Икс, када се пише каратом, углавном се чита као "к-хат", јер карат изгледа као шешир на променљивој.

Тхе нул вектор, или нулл вецтор, је вектор са нултоном магнитуде. Написана је као 0 у овом чланку.

Вектори су углавном оријентисани на координатни систем, од којих је најпопуларнија картезија дводимензионална. Картезијанска равнина има водоравну ос која је означена к и вертикалну ос означену са и. Неке напредне примене вектора у физици захтевају коришћење тродимензионалног простора у коме су осе осе, к и и. Овај чланак ће се углавном бавити дводимензионалним системом, мада се концепти могу пажљиво проширити на три димензије без превише проблема.

Вектори у више-димензионалним координатним системима могу се рашчланити на своје компонентни вектори. У дводимензионалном случају, то резултира а к-компонента и а и-компонента. Када разбијемо вектор на његове компоненте, вектор је збир компоненти:

Ф = Ф_Икс + Ф_и

тхетаФ_ИксФ_иФ

Ф_Икс / Ф = цос тхета и Ф_и / Ф = грех тхеташто нам даје
Ф_Икс = Ф цос тхета и Ф_и = Ф грех тхета

Имајте на уму да су овде бројеви величине вектора. Знамо смјер компонената, али покушавамо пронаћи њихову величину, тако да уклањамо информације о усмјерењу и изводимо ове скаларне прорачуне да бисмо утврдили величину. Даљња примена тригонометрије може се користити за проналажење других односа (попут тангенте) који се односе између неких од тих количина, али мислим да је то за сада довољно.

Дуги низ година једина математика коју ученик учи је скаларна математика. Ако путујете на 5 миља према северу и 5 миља на исток, прешли сте 10 миља. Додавањем скаларних количина занемарују се све информације о упутствима.

Векторима се манипулише некако другачије. Правац се мора увек узети у обзир приликом манипулације њима.

Када додате два вектора, то је као да сте узели векторе и ставили их до краја и створили нови вектор који се креће од почетне до крајње тачке. Ако вектори имају исти правац, то само значи додавање величине, али ако имају различите правце, то може постати сложеније.

Векторе додајете тако да их разбијете на њихове компоненте, а затим додате компоненте, као што следи:

а + б = ц
а_Икс + а_и + б_Икс + б_и =
( а_Икс + б_Икс) + ( а_и + б_и) = ц_Икс + ц_и

Две к-компоненте ће резултирати к-компонентом нове променљиве, док две и-компоненте резултирају и-компонентом нове променљиве.

Редослијед додавања вектора није важан. У ствари, неколико својстава скаларног додавања држи за векторско додавање:

Својство идентитета векторског додатка
а + 0 = а
Инверзно својство векторског додавања
а + -а = а - а = 0
Рефлективно својство векторског додавања
а = а
Цоммутативе Проперти оф Вецтор Аддитион
а + б = б + а
Придружено својство векторског додатка
(а + б) + ц = а + (б + ц)
Прелазно својство векторског додавања
Ако а = б и ц = б, онда а = ц

Најједноставнија операција која се може извршити на вектору је умножавање скалара. Ово скаларно множење мења магнитуду вектора. Другим речима, вектор га чини дужим или краћим.

Када множимо више негативних скалара, резултирајући вектор ће усмеравати у супротном смеру.

Тхе скаларни производ два вектора начин је да их множимо заједно да би добили скаларну количину. Ово је записано као множење двају вектора, са тачком у средини која представља множење. Као такав, често се назива и дот производ два вектора.

Да бисте израчунали тачкасти продукт два вектора, размотрите угао између њих. Другим речима, ако би делили исту почетну тачку, шта би било мерење угла (тхета) између њих. Тачкасти производ је дефинисан као:

а * б = аб цос тхета

абабба

У случајевима када су вектори окомити (или тхета = 90 степени), цос тхета биће нула. Стога тачкасти продукт окомитих вектора је увек нула. Кад су вектори паралелно (или тхета = 0 степени), цос тхета је 1, тако да је скаларни производ само производ величине.

Ове уредне мале чињенице могу се користити за доказивање да, ако знате компоненте, можете елиминисати потребу за тетом у потпуности помоћу (дводимензионалне) једнаџбе:

а * б = а_Икс б_Икс + а_и б_и

Тхе векторски производ пише се у облику а Икс б, и обично се назива цросс производ два вектора. У овом случају множимо векторе и уместо да добијемо скаларну количину, добићемо векторску количину. Ово је најтеже од векторских израчуна с којима ћемо се бавити, као што је то и случај не комутативни и укључује употребу страшних правило деснице, које ћу ускоро стићи.

Опет, сматрамо два вектора извучена из исте тачке, са углом тхета између њих. Ми увек водимо најмањи угао, тако тхета увек ће бити у опсегу од 0 до 180 и резултат стога никада неће бити негативан. Јачина добијеног вектора се одређује на следећи начин:

Ако ц = а Икс б, онда ц = аб грех тхета

Векторски продукт паралелних (или антипаралних) вектора је увек нула

Векторски производ биће окомит на равнину створену из та два вектора. Ако на таблици видите да је авион раван, поставља се питање да ли резултирајући вектор горе (из „наше” табеле, из наше перспективе) или доле (или „у” сто, из наше перспектива).

Да бисте то схватили, морате примијенити оно што се назива правило деснице. Кад сам у школи студирао физику, јесам презира правило деснице. Сваки пут када сам је користио, морао сам извући књигу да бих погледао како функционише. Надам се да ће мој опис бити мало интуитивнији од оног са којим сам упозната.

Ако имате а Икс б десну руку ћете поставити дуж дужине б тако да се ваши прсти (осим палца) могу савити да се усмеравају а. Другим речима, ви некако покушавате да направите угао тхета између длана и четири прста десне руке. Палац ће се у овом случају држати равно горе (или изван екрана, ако покушате да то урадите према рачунару). Ваши зглобови ће бити грубо постављени са почетном тачком два вектора. Прецизност није од суштинске важности, али желим да добијете идеју с обзиром да немам слику о томе.

Ако, ипак, размишљате б Икс а, учинићете супротно. Ставићете десну руку а и усмјерите прсте дуж б. Ако то покушате да учините на екрану рачунара, то ће вам бити немогуће, па користите машту. Открићете да је у овом случају ваш маштовити палац усмерен на екран рачунара. То је правац резултирајућег вектора.

Десно правило показује следећи однос:

а Икс б = - б Икс а

кабина

ц_Икс = а_и б_з - а_з б_и
ц_и = а_з б_Икс - а_Икс б_з
ц_з = а_Икс б_и - а_и б_Икс

абц_Иксц_иц

На вишим нивоима вектори могу постати изузетно сложени са којима се може радити. Читави курсеви на факултету, као што је линеарна алгебра, посвећују пуно времена матрицама (што сам љубазно избегао у овом уводу), векторима и векторски простори. Тај ниво детаља је изван опсега овог чланка, али то би требало да пружи темеље неопходне за већину векторских манипулација које се изводе у учионици физике. Ако намеравате да студирате физику у већој дубини, бићете упознати са сложенијим векторским појмовима током школовања.