Шта је негативна биномна дистрибуција?

Негативна биномна дистрибуција је а расподела која се користи са дискретним случајним варијаблама. Ова врста дистрибуције односи се на број суђења које се морају догодити да би се постигао унапред одређени број успеха. Као што ћемо видети, негативна биномна дистрибуција повезана је са биномна дистрибуција. Поред тога, ова дистрибуција уопштава геометријску дистрибуцију.

Почећемо са посматрањем и поставке и услова који доводе до негативне биномне дистрибуције. Многи од ових стања су врло слични биномним поставкама.

1. Имамо експеримент са Берноулијем. То значи да свако испитивање које изводимо има добро дефинисан успех и неуспех и да су то једини резултати.
2. Вероватноћа успеха је константна без обзира колико пута изводимо експеримент. Ову сталну вероватноћу означавамо са а п.
3. Експеримент се понавља Икс независна испитивања, што значи да исход једног суђења нема утицаја на исход наредног суђења.

Ова три услова су идентична онима у биномној дистрибуцији. Разлика је у томе што биномна случајна променљива има фиксни број покуса

Негативна биномна дистрибуција повезана је са бројем испитивања Икс то се мора догодити док не будемо р успеси. Број р је читав број који одаберемо пре него што почнемо да вршимо своја испитивања. Насумична променљива Икс још увек је дискретна. Међутим, сада случајна променљива може да добије вредности од Кс = р, р + 1, р + 2,... Ова случајна варијабла је неизмерно бесконачна, јер би могло трајати произвољно дуго времена пре него што је добијемо р успеси.

Да бисте добили смисао негативне биномне дистрибуције, вриједно је размотрити пример. Претпоставимо да бацимо поштен новчић и поставимо питање: „Колика је вероватноћа да у првој добијемо три главе Икс цоин флипс? "Ово је ситуација која захтева негативну биномну дистрибуцију.

Новчанице имају два могућа исхода, вероватноћа успеха је константна 1/2, а испитивања су неовисна једна о другој. Тражимо вероватноћу да добијемо прве три главе после Икс цоин флипс. Тако морамо новчић бацити најмање три пута. Затим настављамо да окрећемо док се не појави трећа глава.

Да бисмо израчунали вероватноће повезане са негативном биномном расподјелом, потребне су нам додатне информације. Морамо знати функцију масе вјероватноће.

Функција масе вероватноће за негативну биномну дистрибуцију може се развити са мало размишљања. Свако суђење има вероватноћу успеха п. Будући да постоје само два могућа исхода, то значи да је вероватноћа неуспеха константна (1 - п ).

Тхе руспех се мора догодити за Икси завршно суђење. Претходна Икс - 1 суђење мора тачно да садржи р - 1 успеси. Број начина на који се то може догодити даје се бројем комбинација:

Ц (Икс - 1, р -1) = (к - 1)! / [(Р - 1)! (к - р)!].

Поред овога, имамо и независне догађаје, тако да своје вероватноће можемо множити заједно. Спајајући све ово заједно, добијамо функцију масе вероватноће

ф(Икс) = Ц (Икс - 1, р -1) п^р(1 - п)^{Икс - р}.

Сада смо у ситуацији да разумемо зашто ова случајна променљива има негативну биномну дистрибуцију. Број комбинација на које смо наишли горе може се другачије написати подешавањем к - р = к:

(к - 1)! / [(р - 1)! (к - р)!] = (к + к - 1)! / [(Р - 1)! к!] = (р + к - 1)(к + к - 2)... (р + 1) (р) /к! = (-1)^к(-р) (- р - 1).. . (- р - (к + 1) / к !.

Овде видимо појаву негативног биномног коефицијента, који се користи када подигнемо биномни израз (а + б) на негативну снагу.

Средину дистрибуције важно је знати јер је то један од начина да се означи центар дистрибуције. Средња вредност ове врсте случајних варијабли дата је очекиваном вредношћу и једнака је р / п. То можемо пажљиво доказати користећи функција генерисања момента за ову дистрибуцију.

Интуиција нас такође води ка овом изразу. Претпоставимо да изведемо низ испитивања н₁ док не добијемо р успеси. И онда то поново радимо, само овај пут н₂ суђења. То настављамо изнова и изнова, док не будемо имали велики број група суђења Н = н₁ + н₂ +... +н_к.

Сваки од ових к суђења садрже р успеха, и тако их имамо укупно кр успеси. Ако Н је велика, тада би могли очекивати да ћемо видети Нп успеси. Стога их изједначујемо заједно и имамо кр = Нп.

Ми радимо неку алгебру и то налазимо Н / к = р / п. Део на левој страни ове једначине је просечни број испитивања потребних за свако од наших к групе суђења. Другим речима, ово је очекивани број пута да изведемо експеримент тако да их имамо укупно р успеси. То је управо очекивање које желимо да нађемо. Видимо да је то једнака формули р / п.

Варијанца негативне биномне дистрибуције такође се може израчунати коришћењем функције генерисања момента. Када то учинимо, видимо варијанцу ове дистрибуције даном следећом формулом:

р (1 - п)/п²

Функција генерисања момента за ову врсту случајне променљиве је прилично компликована. Подсетимо се да је функција генерисања момента дефинисана као очекивана вредност Е [е^тКс]. Користећи ову дефиницију с функцијом масе вјероватноће, имамо:

М (т) = Е [е^тКс] = Σ (к - 1)! / [(Р - 1)! (к - р)!] е^тКсп^р(1 - п)^{Икс - р}

После неке алгебре ово постаје М (т) = (пе)^т)^р[1- (1- п) е^т]^-р

Горе смо видели како је негативна биномна дистрибуција на више начина слична биномној дистрибуцији. Поред ове везе, негативна биномна дистрибуција представља општу верзију геометријске дистрибуције.

Геометријска случајна променљива Икс броји број потребних испитивања прије него што се догоди први успјех. Лако је видети да је ово тачно негативна биномна дистрибуција, али са р једнак једном.

Постоје и друге формулације негативне биномне дистрибуције. Неки уџбеници дефинишу Икс да буде број суђења до р догађају се кварови.

Погледаћемо пример проблема да видимо како радити са негативном биномном расподјелом. Претпоставимо да је кошаркаш стрелац слободних бацања од 80%. Надаље, претпоставите да извођење једног слободног бацања не овиси о сљедећем. Која је вероватноћа да је за овог играча осми кош направљен на десетом слободном бацању?

Видимо да имамо поставку за негативну биномну дистрибуцију. Стална вероватноћа успеха је 0,8, тако да је вероватноћа неуспеха 0,2. Желимо да одредимо вероватноћу Кс = 10 када је р = 8.

Ове вредности повезујемо са нашом функцијом масе вероватноће:

ф (10) = Ц (10 -1, 8 - 1) (0.8)⁸(0.2)²= 36(0.8)⁸(0.2)², што је отприлике 24%.

Тада бисмо могли питати колики је просечан број слободних бацања пре него што овај играч направи осам. Пошто је очекивана вредност 8 / 0.8 = 10, ово је број снимака.