Једна употреба а хи-квадратна дистрибуција је са тестовима хипотезе за мултиномалне експерименте. Да видим како ово хипотеза тест ради, истражићемо следећа два примера. Оба примера раде кроз исти скуп корака:
- Обликујте нулте и алтернативне хипотезе
- Израчунајте тест статистике
- Пронађите критичну вредност
- Донесите одлуку о томе да ли желите да одбаците или не одбаците нашу ништавну хипотезу.
Пример 1: Прави новчић
За наш први пример желимо да погледамо новчић. Поштена кованица има једнаку вероватноћу од 1/2 дигнутих глава или репова. Бацамо новчић 1000 пута и снимимо резултате од укупно 580 глава и 420 репова. Желимо да тестирамо хипотезу на нивоу поузданости од 95% да је новчић који смо бацили правичан. Формалније, нулта хипотезаХ0 је да је новчић фер. Пошто упоређујемо учестале фреквенције резултата избацивања кованице са очекиваним фреквенцијама из идеализоване фер кованице, треба користити тест хи-квадрат.
Израчунајте статистику Цхи-Скуареа
Започињемо рачунањем статистике хи-квадрата за овај сценарио. Постоје два догађаја, главе и репови. Главе имају уочену фреквенцију
ф1 = 580 са очекиваном учесталошћу од е1 = 50% к 1000 = 500. Репови имају опажену учесталост ф2 = 420 са очекиваном учесталошћу од е1 = 500.Сада користимо формулу за статистику хи-квадрата и видимо да је χ2 = (ф1 - е1 )2/е1 + (ф2 - е2 )2/е2= 802/500 + (-80)2/500 = 25.6.
Пронађите критичну вредност
Затим морамо пронаћи критичну вредност за правилну дистрибуцију хи-квадрата. Будући да постоје два исхода за новчић, постоје две категорије које треба узети у обзир. Број степени слободе је једна мања од броја категорија: 2 - 1 = 1. Користимо хи-квадратну дистрибуцију за овај број степени слободе и видимо да је χ20.95=3.841.
Одбити или неуспешно одбити?
На крају, упоређујемо израчунату статистику хи-квадрата са критичном вредношћу из табеле. Од 25.6> 3.841, одбацујемо ништавну хипотезу да је ово фер новчић.
Пример 2: Фаир Дие
Прави умор има једнаку вероватноћу 1/6 котрљања један, два, три, четири, пет или шест. Отварамо матрицу 600 пута и узмемо у обзир да смо ролали један 106 пута, два 90 пута, три 98 пута, четири 102 пута, пет 100 пута и шест 104 пута. Желимо да тестирамо хипотезу на 95% нивоу поверења да имамо поштену смрт.
Израчунајте статистику Цхи-Скуареа
Постоји шест догађаја, сваки са очекиваном учесталошћу од 1/6 к 600 = 100. Примећене фреквенције су ф1 = 106, ф2 = 90, ф3 = 98, ф4 = 102, ф5 = 100, ф6 = 104,
Сада користимо формулу за статистику хи-квадрата и видимо да је χ2 = (ф1 - е1 )2/е1 + (ф2 - е2 )2/е2+ (ф3 - е3 )2/е3+(ф4 - е4 )2/е4+(ф5 - е5 )2/е5+(ф6 - е6 )2/е6 = 1.6.
Пронађите критичну вредност
Затим морамо пронаћи критичну вредност за правилну дистрибуцију хи-квадрата. Пошто постоји шест категорија резултата за матрицу, број степени слободе је један мањи од овога: 6 - 1 = 5. Користимо хи-квадрат дистрибуцију за пет степени слободе и видимо да је χ20.95=11.071.
Одбити или неуспешно одбити?
На крају, упоређујемо израчунату статистику хи-квадрата са критичном вредношћу из табеле. Пошто је израчуната статистика хи-квадрата 1,6 мања од наше критичне вредности од 11.071, ми не одбије нулта хипотеза.