Из теорије се може извести неколико теорема вероватноће аксиоми вероватноће. Ове теореме се могу применити за израчунавање вероватноћа које бисмо можда желели да знамо. Један такав резултат познат је као правило комплементације. Ова изјава омогућава нам да израчунамо вероватноћу догађајА знајући вероватноћу комплемента АЦ. Након навођења правила комплемента видећемо како се овај резултат може доказати.
Правило комплемента
Допуна догађаја А је означен са АЦ. Комплементација А је комплет свих елемената у универзалном сету, или узорак простора С, то нису елементи скупа А.
Правило комплемента се изражава следећом једначином:
П (АЦ) = 1 - П (А)
Овде видимо да вероватноћа неког догађаја и вероватноћа његовог допуњавања морају бити једнаки 1.
Доказ правила допуне
Да бисмо доказали правило комплемента, започињемо с аксиомима вероватноће. Ове изјаве се претпостављају без доказа. Видећемо да се они могу систематски користити да докажу нашу изјаву вероватноће комплементације неког догађаја.
- Први аксиом вероватноће је да је вероватноћа било ког догађаја ненегативна стварни број.
- Други аксиом вероватноће је вероватноћа целог простора узорка С је један. Симболично пишемо П (С) = 1.
- Трећи аксиом вероватноће каже да Ако А и Б се међусобно искључују (што значи да имају празан пресек), тада наводимо вероватноћу сједињење ових догађаја као П (А У Б ) = П (А) + П (Б).
За правило комплементације нећемо морати да користимо први аксиом на горњој листи.
Као доказ наше изјаве сматрамо догађаје Аи АЦ. Из теорије скупова знамо да ова два скупа имају празан пресек. То је зато што елемент не може истовремено бити у оба А а не унутра А. Пошто постоји празно пресек, ова два скупа су међусобно искључују.
Уједињење два догађаја А и АЦ су такође важни. Они представљају исцрпне догађаје, што значи да је унија ових догађаја је сав узорак простора С.
Те чињенице у комбинацији са аксиомима дају нам једначину
1 = П (С) = П (А У АЦ) = П (А) + П (АЦ) .
Прва једнакост је последица другог аксиома вероватноће. Друга једнакост је због тога што су догађаји А и АЦ исцрпни су. Трећа једнакост је због трећег аксиома вероватноће.
Горња једнаџба се може преуредити у облик који смо навели горе. Све што морамо учинити је одузети вероватноћу А са обе стране једначине. Тако
1 = П (А) + П (АЦ)
постаје једначина
П (АЦ) = 1 - П (А).
Наравно, правило можемо изразити и тако што ћемо изјавити:
П (А) = 1 - П (АЦ).
Све три ове једначине су једнаки начини изговора исте ствари. Из овог доказа видимо како само два аксиома и нека теорија скупова иду дуг пут да би нам помогли да докажемо нове изјаве у вези вероватноће.