Како се користи допунско правило у статистици

У статистици, правило комплемента је теорема која пружа везу између вероватноће ан догађај и вероватноћа комплементације догађаја на такав начин да ако знамо једну од тих вероватноћа, онда аутоматски знамо и другу.

Правило комплемента нам добро долази када израчунавамо одређене вероватноће. Много је пута вероватноћа да је догађај неуредна или компликована за израчунавање, док је вероватноћа њеног допуњавања много једноставнија.

Пре него што видимо како се користи правило комплемента, дефинисаћемо конкретно шта је то правило. Почињемо са мало нотације. Допуна догађаја А, који се састоји од свих елемената у узорак простораС који нису елементи скупа А, означено је са АЦ.

Правило комплемента је наведено као "збир вероватноће неког догађаја и вероватноћа његовог допуњавања једнак је 1", изражено следећом једначином:

П (А^Ц) = 1 - П (А)

Следећи пример ће показати како се користи правило комплемента. Постаће очигледно да ће ова теорема и убрзати и поједноставити прорачун вероватноће.

Претпоставимо да пребацимо осам сајамских кованица - колика је вероватноћа да имамо бар једну главу? Један од начина да се то схвати је израчунавање следећих вероватноћа. Назив сваког од њих објашњава се чињеницом да постоје 2⁸ = 256 резултата, од којих је сваки подједнако вероватан. Све следеће следи формула за комбинације:

• Вероватноћа окретања тачно једне главе је Ц (8,1) / 256 = 8/256.
• Вероватноћа да се преврне тачно две главе је Ц (8,2) / 256 = 28/256.
• Вероватноћа да се преврне тачно три главе је Ц (8,3) / 256 = 56/256.
• Вероватноћа да се преврне тачно четири главе је Ц (8,4) / 256 = 70/256.
• Вероватноћа да се преврће тачно пет глава је Ц (8,5) / 256 = 56/256.
• Вероватноћа да се преврће тачно шест глава је Ц (8,6) / 256 = 28/256.
• Вероватноћа да се окрене тачно седам глава је Ц (8,7) / 256 = 8/256.
• Вероватноћа да ће се окренути тачно осам глава је Ц (8,8) / 256 = 1/256.

Су међусобно искључују догађаја, па збрајамо вероватноће заједно користећи један одговарајући правило додавања. То значи да је вероватноћа да имамо бар једну главу 255 од 256.

Сада израчунавамо исту вероватноћу помоћу правила комплемента. Комплемент догађаја "Завртимо барем једну главу" је догађај "Нема главе." Постоји један начин да се то догоди, што нам даје вероватноћу 1/256. Користимо правило комплемента и утврдимо да је наша жељена вероватноћа једна минус једна од 256, што је једнако 255 од 256.

Овај пример показује не само корисност, већ и снагу правила комплемента. Иако нема ништа лоше у нашем оригиналном прорачуну, био је прилично укључен и захтијевао је више корака. Супротно томе, када смо користили правило комплемента за овај проблем, није било толико корака у којима би прорачуни могли да крену по злу.