Непосредан пример условни вероватноћа је вероватноћа да је картица извучена из стандардног шпил карата краљ. Има укупно четири краља од 52 карте, па је вероватноћа једноставно 4/52. Повезано с овом рачуницом је сљедеће питање: „Колика је вјероватноћа да ћемо привући краља обзиром на то већ смо извукли картицу са палубе и то је ас? "Овде ћемо размотрити садржај палубе картице. Још су четири краља, али сада је на палуби само 51 карта. Вероватноћа цртања краља с обзиром на то да је ас већ био извучен је 4/51.
Условна вероватноћа дефинише се као вероватноћа догађаја с обзиром да се догодио други догађај. Ако именујемо ове догађаје А и Б, онда можемо разговарати о вероватноћи А дато Б. Могли бисмо се позивати и на вероватноћу А зависи од Б.
Напомена
Ознака условне вероватноће варира од уџбеника до уџбеника. У свим записима, индикација је да вероватноћа на коју мислимо зависи од другог догађаја. Једна од најчешћих назнака за вероватноћу А дато Б је П (А | Б). Још једна нота која се користи је ПБ(А).
Формула
Постоји формула условне вероватноће која то повезује са вероватноћом А и Б:
П (А | Б) = П (А ∩ Б) / П (Б)
У суштини, ова формула каже да се израчунава условна вероватноћа догађаја А с обзиром на догађај Б, мењамо наш узорак да се састоји само од скупа Б. При томе не разматрамо сав догађај А, али само део А која је такође садржана у Б. Скуп који смо управо описали може се идентификовати у познатим терминима као раскрсница од А и Б.
Можемо користити алгебра да горњу формулу изразимо на другачији начин:
П (А ∩ Б) = П (А | Б) П (Б)
Пример
Поново ћемо испитати пример са којим смо започели у светлу ових информација. Желимо знати вероватноћу цртања краља с обзиром на то да је ас већ био извучен. Дакле, догађај А је да привучемо краља. Евент Б је да цртамо аса.
Вероватноћа да се догоди оба догађаја и извучемо аса и тада краљ одговара П (А ∩ Б). Вредност ове вероватноће је 12/2652. Вероватноћа догађаја Б, да извучемо аса је 4/52. Стога користимо формулу условне вероватноће и видимо да је вероватноћа цртања краља добијеног од аса извучена (16/2652) / (4/52) = 4/51.
Други пример
За други пример погледаћемо експеримент вероватноће где се налазимо разваљајте две коцкице. Питање које бисмо могли поставити је: „Колика је вероватноћа да смо ротирали тројицу, с обзиром да смо скупили мање од шест?“
Ево догађаја А је да смо смотали тројку и догађај Б је да смо скупили мање од шест. Постоји 36 начина да се две коцкице котрљају. Од ових 36 начина, можемо избацити суму мању од шест на десет начина:
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 1 + 3 = 4
- 1 + 4 = 5
- 2 + 1 = 3
- 2 + 2 = 4
- 2 + 3 = 5
- 3 + 1 = 4
- 3 + 2 = 5
- 4 + 1 = 5
Независни догађаји
Постоје неки случајеви у којима је условна вероватноћа А с обзиром на догађај Б је једнака вероватноћи А. У овој ситуацији, ми кажемо да су догађаји А и Б су независни једни од других. Горња формула постаје:
П (А | Б) = П (А) = П (А ∩ Б) / П (Б),
и опорављамо формулу да је за независне догађаје вероватноћа и једног и другог А и Б налазимо множењем вероватноћа сваког од ових догађаја:
П (А ∩ Б) = П (Б) П (А)
Када су два догађаја независна, то значи да један догађај нема утицаја на други. Превртање једне кованице, а затим друге, пример је независних догађаја. Један преокрет новца нема утицаја на други.
Опрез
Будите врло опрезни да препознате који догађај зависи од другог. Генерално П (А | Б) није једнак П (Б | А). То је вероватноћа А с обзиром на догађај Б није исто што и вероватноћа Б с обзиром на догађај А.
У горњем примеру смо видели да је при бацању две коцке вероватноћа бацања три, с обзиром на то да смо смотали суму мању од шест, била 4/10. С друге стране, колика је вероватноћа да се неки зброји мање од шест с обзиром на то да смо тројку смотали? Вероватноћа да се котура три и сума мања од шест је 4/36. Вероватноћа да се ваља најмање једна тројка је 11/36. Дакле, условна вероватноћа у овом случају је (4/36) / (11/36) = 4/11.