Шта је парадокс Санкт Петербурга?

Налазите се на улицама Санкт Петербурга у Русији, а старац предлаже следећу игру. Он баци новчић (и посуђиће један од вас ако не верујете да је његов фер). Ако слети репом онда губите и игра је готова. Ако новчић пристане напријед, тада освајате један рубељ и игра се наставља. Новац је опет бачен. Ако су то репови, игра се завршава. Ако су главе, онда добијате додатна два рубље. Игра се наставља на овај начин. За сваку узастопну главу удвостручујемо победе из претходног круга, али на знак првог репа игра се обавља.

Колико бисте платили да играте ову игру? Кад узмемо у обзир Очекивана вредност ове игре, требало би да скочите на шансу, без обзира на цијену која ће се играти. Међутим, из горњег описа, вероватно не бисте били спремни платити много. Уосталом, постоји 50% вероватноћа да се ништа не освоји. То је оно што је познато као Санкт Петербург Парадок, названо због објављивања Даниела Берноулија из 1738. године Коментари Империјалне академије науке из Санкт Петербурга.

Започнимо с израчунавањем вероватноће повезан са овом игром. Вероватноћа да се поштени новчић спусти према горе је 1/2. Сваки бацање кованица је независан догађај, тако да множимо вероватноће евентуално коришћењем а дијаграм стабла.

• Вероватноћа да две главе заредом буду (1/2)) к (1/2) = 1/4.
• Вероватноћа три главе заредом је (1/2) к (1/2) к (1/2) = 1/8.
• Да изразимо вероватноћу н главе у реду, где н је позитиван цео број који користимо експоненти за писање 1/2^н.

Сада идемо даље и видећемо да ли можемо да генерализирамо који би добитак био у свакој рунди.

• Ако имате главу у првом кругу, освојите један рубље за тај круг.
• Ако у другом кругу буде глава, у том кругу добијате две рубље.
• Ако у трећем колу има главу, тада ћете у том кругу освојити четири рубље.
• Ако сте имали довољно среће да стигнете до места н^тх рунди, тада ћете освојити 2^н-1 рубаља у тој рунди.

Очекивана вредност игре говори нам о томе какав би био просечни добитак ако бисте игру играли пуно, пуно пута. Да бисмо израчунали очекивану вредност, множимо вредност добитка из сваког круга са вероватноћом да прођемо у овај круг, а затим саберемо све ове производе заједно.

• Од првог круга имате вероватноћу 1/2 и добитак од 1 рубља: 1/2 к 1 = 1/2
• Од другог круга имате вероватноћу 1/4 и добитак од 2 рубаља: 1/4 к 2 = 1/2
• Од првог круга имате вероватноћу 1/8 и добитак од 4 рубаља: 1/8 к 4 = 1/2
• Од првог круга имате вероватноћу 1/16 и добитак од 8 рубаља: 1/16 к 8 = 1/2
• Од првог круга имате вероватноћу 1/2^н и добитак од 2^н-1 рубаља: 1/2^н к 2^н-1 = 1/2

Вредност из сваког круга је 1/2 и додаје резултате из првог н рунде заједно дају нам очекивану вредност н/ 2 рубаља. Од н може бити било који позитиван читав број, очекивана вредност је неограничена.

Па шта треба да платите да играте? Рубља, хиљаду рубаља или чак а милијарде рубаљи би, на дуже стазе, били мањи од очекиване вредности. Упркос горе наведеном израчуну који обећава неизрециво богатство, сви бисмо и даље оклевали да платимо веома много за игру.

Постоје бројни начини за решавање парадокса. Један од једноставнијих начина је да нико не понуди игру попут оне која је горе описана. Нико нема бесконачна средства која би била потребна да би се исплатило некоме ко настави да врти главом.

Други начин да се реши парадокс укључује указивање на то колико је невероватно добити нешто попут 20 глава заредом. Тхе оддс ово се дешава боље него освојити већину државе лутрије. Људи рутински играју такве лутрије за пет долара или мање. Стога цена играња игре у Санкт Петербургу вероватно не би требало да пређе неколико долара.

Ако је човек унутра Санкт Петербург каже да ће вам играње његове игре коштати нешто више од неколико рубаља, требали бисте уљудно одбити и отићи. Рубља ионако не вреди много.