Цхуцк-а-Луцк је игра на срећу. Три коцке ваљани су, понекад у жичаном оквиру. Због овог оквира ова се игра назива и бирдцаге. Ова игра се чешће виђа у карневалима, а не у коцкарницама. Међутим, због коришћења насумичних коцкица, можемо користити вероватноћу да анализирамо ову игру. Тачније можемо израчунати очекивану вредност ове игре.
Вагерс
Постоји неколико врста оклада на које је могуће кладити се. Размотрићемо само окладу са једним бројем. У овом окладу једноставно бирамо одређени број од један до шест. Затим коцкамо коцкице. Размотрите могућности. Све коцкице, две, једна или ниједна, нису могле показати број који смо изабрали.
Претпоставимо да ће ова игра платити следеће:
- 3 УСД ако се све три коцкице подударају са одабраним бројем.
- 2 долара ако се тачно две коцкице подударају са одабраним бројем.
- $ 1 ако се тачно једна од коцкица подудара са одабраним бројем.
Ако ниједна коцкица не одговара одабраном броју, тада морамо платити 1 УСД.
Која је очекивана вредност ове игре? Другим речима, колико дуго би у просеку очекивали да победимо или изгубимо ако бисмо играли ову игру више пута?
Вероватноће
Да бисмо пронашли очекивану вредност ове игре, морамо одредити четири вероватноће. Ове вероватноће одговарају четири могућа исхода. Напомињемо да је свака матрица независна од осталих. Због ове независности користимо правило множења. Ово ће нам помоћи у одређивању броја исхода.
Такође претпостављамо да су коцкице фер. Свака од шест страна на свакој од три коцкице подједнако је вероватна да се ваља.
Могуће је 6 к 6 к 6 = 216 резултата од вађења ове три коцке. Овај број ће бити називник свих наших вероватноћа.
Постоји један начин да све три коцкице повежете са одабраним бројем.
Постоји пет начина да се једна матрица не подудара са нашим одабраним бројем. То значи да постоји 5 к 5 к 5 = 125 начина како ниједна од наших коцкица не може одговарати броју који је изабран.
Ако узмемо у обзир тачно две подударности коцкица, имамо једну матрицу која се не подудара.
- Постоје 1 к 1 к 5 = 5 начина да се прве две коцкице подударају са нашим бројем, а трећи да се разликују.
- Постоји 1 к 5 к 1 = 5 начина за слагање прве и треће коцкице, с тим да ће друга бити другачија.
- Постоји 5 к 1 к 1 = 5 начина да се први умре другачији, а други и трећи да се подударају.
То значи да постоји укупно 15 начина како се подударају тачно две коцкице.
Сада смо израчунали број начина да постигнемо све, осим једног од наших резултата. Могуће је 216 рола. Набројали смо 1 + 15 + 125 = 141 од њих. То значи да је остало 216 -141 = 75.
Прикупљамо све горе наведене информације и видимо:
- Вероватноћа да се наш број подудара са све три коцке је 1/216.
- Вероватноћа да се наш број подудара са тачно две коцкице је 15/216.
- Вероватноћа да се наш број подудара са тачно једним умретком је 75/216.
- Вероватноћа да наш број не одговара ниједној коцкици је 125/216.
Очекивана вредност
Сада смо спремни да израчунамо Очекивана вредност ове ситуације. Тхе формула за очекивану вредност захтева да множимо вероватноћу сваког догађаја са нето добитком или губитком ако се догађај догоди. Затим све ове производе додајемо заједно.
Прорачун очекиване вредности је следећи:
(3)(1/216) + (2)(15/216) +(1)(75/216) +(-1)(125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125/216 = -17/216
То износи отприлике - 0,08 УСД. Тумачење је да ако бисмо више пута играли ову игру, у просеку бисмо изгубили 8 центи сваки пут када бисмо играли.