Шта су обратно, контрапозитивно и обратно?

Условне изјаве се појављују свуда. У математици или негде друго, не треба дуго да се наиђе на нешто од облика „Ако П онда К. " Условне изјаве су заиста важне. Оно што је такође важно су изјаве које су променом позиције у вези са оригиналном условном изјавом П, К и негација изјаве. Полазећи од оригиналне изјаве, завршавамо са три нове условне изјаве које су назване обратно, контрапозитивно и обрнуто.

Пре него што дефинишемо супротну, супротну и обратну условну изјаву, морамо испитати тему негације. Свака изјава у логика је или истинито или лажно. Негација изјаве једноставно укључује убацивање речи „не“ у одговарајући део изјаве. Додавање речи „не“ врши се тако да промени статус истинитости изјаве.

То ће вам помоћи да погледате пример. Изјава „Тхе Право троугао је једнакостраничан “има негацију„ Прави троугао није једнакостраничан “. Негација „10 је парни број“ је изјава „10 није парни број“. Наравно, због овога последњи пример, могли бисмо користити дефиницију непарног броја и уместо тога рећи да је „10 непарни број.“ Приметили смо да је истина изјаве супротна оној коју има негација.

Проучићемо ову идеју у апстрактнијем окружењу. Када изјава П тачно је, изјава „не П“Је лажно. Слично томе, ако П је лажно, његова негација „нијеП" тачно је. Негације се обично означавају тилдом ~. Дакле, уместо да пишете „не П”Можемо да пишемо ~П.

Сада можемо дефинисати обрнуто, контрапозитивно и обрнуто условној изјави. Започињемо са условном изјавом „Ако П онда К.”

• Супротна је условна изјава "Ако К онда П.”
• Контрапозитив условне изјаве је „Ако није К онда не П.”
• Обрнута условна изјава је „Ако није П онда не К.”

Видећемо како те изјаве делују на примеру. Претпоставимо да започнемо са условном изјавом „Ако је падало синоћ, тада је плочник влажан“.

• Супротна условној изјави је „Ако је тротоар мокар, синоћ је падала киша.“
• Супротност условне изјаве је „Ако плочник није мокар, онда синоћ није падала киша.“
• Обрнута условна изјава је "Ако синоћ није падала киша, плочник није мокар."

Можемо се запитати зашто је важно формирати ове друге условне изјаве из наше почетне. Пажљив поглед на горњи пример открива нешто. Претпоставимо да је оригинална изјава „Ако је падало синоћ, онда је плочник влажан“ тачна. Која од осталих изјава мора бити тачна?

• Супротност „Ако је плочник влажан, синоћ је падала киша“ није нужно тачан. Плочник би могао бити мокар из других разлога.
• Обрнуто "Ако синоћ није падало киша, онда плочник није мокар", није нужно тачно. Опет, само што није падала киша не значи и да плочник није мокар.
• Контрапозитив „Ако плочник није влажан, синоћ није падао киша“ истинита је изјава.

Оно што видимо из овог примера (и што се математички може доказати) је да условна изјава има исту вредност истине као и њена супротност. Кажемо да су ове две изјаве логички еквивалентне. Такође видимо да условна изјава није логички еквивалентна њеној обрнутој и обрнутој.

Пошто су условна изјава и њена супротност логички еквивалентни, то можемо користити у нашу корист када доказујемо математичке теореме. Уместо да директно докажемо истинитост условне изјаве, уместо тога можемо да користимо стратегију индиректног доказивања да бисмо доказали истинитост контрапозитива те изјаве. Контрапозитивни докази делују јер ако је контрапозитив тачан, због логичке еквиваленције, оригинална условна изјава је такође тачна.

Испада да иако обратно и обрнуто нису логички еквивалентне изворној условној изјави, они су логички једнаки једни другима. За ово постоји лако објашњење. Започињемо са условном изјавом „Ако К онда П”. Супротност ове изјаве је „Ако не П онда не К. " Пошто је инверзно супротност обрнутог, обрнуто и обратно су логички еквивалентни.