Тхе хи-квадрат тест доброте фит корисно је упоредити а теоријски модел на посматране податке. Овај тест је врста општег хи-квадрат теста. Као и код било које теме из математике или статистике, може бити корисно радити кроз пример да би се разумело шта се дешава, на пример теста хи-квадрат доброће фит вредности.
Размислите о стандардном паковању млечне чоколаде М&М. Постоји шест различитих боја: црвена, наранџаста, жута, зелена, плава и браон. Претпоставимо да нас занима дистрибуција ових боја и питамо, да ли се свих шест боја појављују у једнаком односу? Ово је врста питања на коју се може одговорити тестом добре способности.
Подешавање
Започињемо са примећивањем поставке и зашто је тест кондиције прикладан. Наша променљива боја је категорична. Постоји шест нивоа ове променљиве, што одговара шест боја које су могуће. Претпоставит ћемо да ће М&С које рачунамо бити једноставан случајни узорак из популације свих М&С.
Нулта и алтернативна хипотеза
Тхе нулта и алтернативна хипотеза за нашу добру тест кондиција одражава претпоставку коју дајемо о популацији. Будући да тестирамо да ли се боје јављају у једнаким пропорцијама, наша нулта хипотеза ће бити да се све боје појављују у истом пропорцији. Формалније, ако
п1 је проценат становништва црвених бомбона, п2 је удио популације наранчастих бомбона и тако даље, тада је нулта хипотеза п1 = п2 =... = п6 = 1/6.Алтернативна хипотеза је да бар једна пропорција становништва није једнака 1/6.
Стварне и очекиване тачке
Стварни бројеви су број бомбона за сваку од шест боја. Очекивано бројање односи се на оно што бисмо очекивали да је нулта хипотеза тачна. Ми ћемо дозволити н бити величина нашег узорка. Очекивани број црвених бомбона је п1 н или н/6. Заправо, за овај пример, очекивани број бомбона за сваку од шест боја је једноставно н пута пја, или н/6.
Цхи-квадрат статистика за добробит фит
Сада ћемо израчунати хи-квадратну статистику за конкретан пример. Претпоставимо да имамо једноставан случајни узорак од 600 М&М бомбона са следећом дистрибуцијом:
- 212 бомбона је плаве боје.
- 147 бомбона је наранџасте боје.
- 103 бомбона су зелене боје.
- 50 бомбона је црвених боја.
- 46 бомбона је жуто.
- 42 бомбона су смеђе боје.
Ако је нулта хипотеза тачна, тада би очекивано рачунање сваке од ових боја било (1/6) к 600 = 100. Сада то користимо у нашем израчунавању статистике хи-квадрата.
Допринос нашој статистици израчунавамо из сваке боје. Сваки је од облика (Стварно - очекивано)2/Expected.:
- За плаву имамо (212 - 100)2/100 = 125.44
- За наранџасте имамо (147 - 100)2/100 = 22.09
- За зелено имамо (103 - 100)2/100 = 0.09
- За црвену имамо (50 - 100)2/100 = 25
- За жуто имамо (46 - 100)2/100 = 29.16
- За смеђу имамо (42 - 100)2/100 = 33.64
Затим збројимо све ове прилоге и утврђујемо да је наша статистика хи-квадрата 125,44 + 22,09 + 0,09 + 25 +29,16 + 33,64 = 235,42.
Степени слободе
Број степени слободе за добар тест кондиције је једноставно један мањи од броја нивоа наше променљиве. Пошто је било шест боја, имамо 6 - 1 = 5 степени слободе.
Цхи-квадратна табела и П-вредност
Статистика хи-квадрата од 235,42 коју смо израчунали одговара одређеној локацији у хи-квадрат дистрибуцији са пет степени слободе. Сада нам треба п-вредност, да би се утврдила вероватноћа добијања статистичког теста барем екстремно 235.42, уз претпоставку да је нулта хипотеза тачна.
За овај прорачун може се користити Мицрософтов Екцел. Откривамо да наша тест статистика са пет степени слободе има п-вредност 7,29 к 10-49. Ово је изузетно мала п-вредност.
Правило одлуке
Ми одлучујемо да ли ћемо одбацити нулту хипотезу на основу величине п-вредности. Пошто имамо веома минималан п-вредност, одбацујемо ништавну хипотезу. Закључујемо да М&М нису равномерно распоређени међу шест различитих боја. Следећа анализа могла би се користити за утврђивање интервала поверења за удио популације једне одређене боје.