Варијанса дистрибуције случајне променљиве је важна карактеристика. Овај број указује на ширење дистрибуције, а налази се квадратом стандардна девијација. Једна најчешће коришћена дискретна дистрибуција је Поиссонова дистрибуција. Видећемо како да израчунамо варијанцу Поиссонове дистрибуције са параметром λ.
Поиссонова дистрибуција
Поиссонове дистрибуције се користе када имамо неки континуум и рачунамо дискретне промене унутар овог континуума. То се дешава када узмемо у обзир број људи који током сат времена стигну до шалтера за биоскопе и прате их број аутомобила који пролазе кроз раскрсницу са четворосмерним заустављањем или рачунају број недостатака који се дешавају у дужини од жица.
Ако у овим сценаријима направимо неколико разјашњавајућих претпоставки, онда ове ситуације одговарају условима за Поиссонов процес. Затим кажемо да случајна променљива, која броји број промена, има Поиссонову дистрибуцију.
Поиссонова дистрибуција се заправо односи на бесконачну породицу дистрибуција. Ове дистрибуције опремљене су једним параметром λ. Параметар је позитиван
стварни број то је уско повезано са очекиваним бројем промена примећених у континууму. Даље, видећемо да је овај параметар једнак не само тхе значити дистрибуције, али и варијанца дистрибуције.Функцију масе вероватноће за Поиссонову расподелу даје:
ф(Икс) = (λИксе-λ)/Икс!
У овом изразу, слово е је број и представља математичку константу са вредности приближно једнаком 2.718281828. Променљива Икс може бити било који негативни цели број.
Израчунавање варијанце
Да бисмо израчунали средњу вредност Поиссонове дистрибуције, користимо ове дистрибуције функција генерисања момента. Видимо то:
М( т ) = Е [етКс] = Σ етКсф( Икс) = ΣетКс λИксе-λ)/Икс!
Сада се сећамо Мацлауринове серије за еу. Пошто је било који дериват функције еу је еу, сви ови деривати вредновани на нули дају нам 1. Резултат је серија еу = Σ ун/н!.
Коришћењем Мацлаурин серије за еу, функцију генерисања тренутка можемо изразити не као низ, већ у затвореном облику. Комбинујемо све изразе са експонентом Икс. Тако М(т) = еλ(ет - 1).
Сада смо пронашли варијанцу узимајући други дериват од М и процењујући то на нули. Од М’(т) =λетМ(т), користимо правило производа да израчунамо други дериват:
М’’(т)=λ2е2тМ’(т) + λетМ(т)
То процењујемо на нули и то налазимо М’’(0) = λ2 + λ. Тада користимо чињеницу да М'(0) = λ за израчунавање варијанце.
Вар (Икс) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
То показује да параметар λ није само средња вредност Поиссонове расподјеле, већ је и његова варијанца.