Када ништа не може бити нешто? Чини се глупим питањем и прилично парадоксално. У математичком пољу теорије скупова рутина је да ништа није нешто друго него ништа. Како то може бити?
Кад формирамо скуп без елемената, више немамо ништа. Имамо сет без ичега. Постоји посебан назив за сет који не садржи елементе. То се назива празан или нулти скуп.
Суптилна разлика
Дефиниција празног скупа је прилично суптилна и захтева мало размишљања. Важно је запамтити да мислимо на комплет као збирка елемената. Сам сет разликује се од елемената које садржи.
На пример, погледаћемо {5}, што је скуп који садржи елемент 5. Скуп {5} није број. То је скуп са бројем 5 као елементом, док је 5 број.
На сличан начин, празан сет није ништа. Уместо тога, то је скуп без елемената. Помаже размишљати о скуповима као контејнерима, а елементи су оне ствари које ставимо у њих. Празан спремник је и даље контејнер и аналоган је празном скупу.
Јединственост празног сета
Празан сет је јединствен, због чега је потпуно прикладно разговарати
тхе тхе празан сет, а не ан празан сет. Тиме се празан скуп разликује од осталих скупова. Постоји бесконачно пуно сетова са једним елементом у њима. Сви скупови {а}, {1}, {б} и {123} имају по један елемент, па су једнаки један другом. Пошто су сами елементи различити један од другог, скупови нису једнаки.Нема ништа посебно у примерима изнад којих сваки има по један елемент. Уз изузетак, за било који бројили број или бесконачност, постоји бесконачно много скупова те величине. Изузетак је број нула. Постоји само један сет, празан сет, без елемената у њему.
Математички доказ те чињенице није тежак. Прво претпостављамо да празан скуп није јединствен, да постоје два скупа без елемената у њима, а затим користимо неколико својстава из теорије скупова да покажемо да ова претпоставка подразумева контрадикцију.
Ознака и терминологија за празан сет
Празан скуп означен је симболом ∅, који долази од сличног симбола у данском алфабету. Неке књиге се односе на празан скуп и наизменично име нулл скупа.
Својства празног скупа
Пошто постоји само један празан сет, вреди се видети шта се дешава када задате операције пресек, сједињење и допуњавање се користе са празним сетом и општим скупом који ћемо означити од стране Икс. Такође је занимљиво узети у обзир подскуп празног скупа и када је празан скуп подскуп. Те су чињенице сакупљене у наставку:
- Тхе раскрсница било којег скупа са празним сетом је празан скуп. То је зато што у празном скупу нема елемената, па два скупа немају заједничке елементе. У симболима пишемо Икс ∩ ∅ = ∅.
- Тхе унија било којег скупа са празним сетом је скуп са којим смо започели. То је зато што у празном скупу нема елемената, па не додавамо ниједан елемент другом скупу када формирамо савез. У симболима пишемо Икс У ∅ = Икс.
- Тхе комплемент празног скупа је универзални сет за поставку у којој радимо. То је зато што је скуп свих елемената који нису у празном скупу само скуп свих елемената.
- Празан скуп је подскуп било којег скупа. То је зато што формирамо подскупове скупа Икс избором (или не избором) елемената из Икс. Једна опција за подгрупу је да се уопште не користе елементи Икс. Ово нам даје празан сет.