Шта је Цауцхи дистрибуција

Једна расподјела случајне варијабле није важна због њених апликација, већ због онога што нам говори о нашим дефиницијама. Кошијева дистрибуција је један такав пример, који се понекад назива и патолошким примером. Разлог за то је да иако је ова дистрибуција добро дефинисана и има везу са физичким феноменом, дистрибуција нема средњу ни варијансну разлику. Заиста, ова случајна променљива нема а функција генерисања момента.

Ми смо дефинисали дистрибуцију Цауцхи узимајући у обзир спиннер, као што је тип у игри на плочи. Средина овог спиннера ће бити усидрена на и ос у тачки (0, 1). Након спиновања центрифуге, продужит ћемо линијски сегмент спиннера док не пређе оси к. Ово ће бити дефинисано као наша случајна променљива Икс.

Означавамо мањи од два угла која талог чини са и ос. Претпостављамо да ће овај спиннер подједнако вероватно формирати било који угао као други, па В има једнолику расподелу која се креће од -π / 2 до π / 2.

Основна тригонометрија омогућава нам везу између наше две случајне променљиве:

Икс = препланули тенВ.

Кумулативна функција расподјелеИкссе изводи на следећи начин:

Х(Икс) = П(Икс < Икс) = П(препланули тенВ < Икс) = П(В < арцтанИкс)

Тада користимо чињеницу даВ је униформно, и то нам даје:

Х(Икс) = 0.5 + (арцтанИкс)/π

За добијање функције густине вероватноће разликујемо функцију кумулативне густине. Резултат је х(к) = 1/[π (1 + Икс²) ]

Оно због чега је Цауцхи дистрибуција занимљива је чињеница да смо је дефинисали користећи физички систем а случајни спиннер, случајна варијабла са Цауцхијевом дистрибуцијом нема генерирање средње, варијанце или момента функција. Све од на моменте о пореклу који се користе за дефинисање ових параметара не постоје.

Започињемо разматрањем средње вриједности. Средња вриједност је дефинирана као очекивана вриједност наше случајне варијабле и тако Е [Икс] = ∫_-∞^∞Икс /[π (1 + Икс²)] дИкс.

Интегришемо користећи супституција. Ако кренемо у = 1 +Икс² онда видимо то ду = 2Икс дИкс. Након замене, резултирајући неправилни интеграл не конвергира. То значи да очекивана вредност не постоји и да је средина недефинисана.

Слично томе, дефинисана је варијација и функција генерисања момента.

Дистрибуција Цауцхи названа је по француском математичару Аугустину-Лоуису Цауцхију (1789 - 1857). Упркос томе што је дистрибуција названа по Цауцхи, информације о дистрибуцији први је објавио Поиссон.