Прорачун а узорак варијанца или стандардна девијација се обично наводи као фракција. Бројач овог удела укључује збир одступања од средње вриједности. У статистици, формула за овај укупни збир квадрата је
Σ (кја - Икс)2
Овде се симбол к односи на просечну вредност узорка, а симбол Σ нам говори да саберемо квадратне разлике (кја - к) за све ја.
Иако ова формула делује за прорачуне, постоји једнака, формула пречаца која не захтева да прво израчунамо просечна вредност узорка. Ова формула пречаца за збир квадрата је
Σ (кја2) - (Σ к)ја)2/н
Овде променљива н односи се на број података у нашем узорку.
Пример стандардне формуле
Да бисмо видели како функционише ова формула пречаца, размотрићемо пример који се израчунава помоћу обе формуле. Претпоставимо да је наш узорак 2, 4, 6, 8. Средња вриједност узорка је (2 + 4 + 6 + 8) / 4 = 20/4 = 5. Сада израчунавамо разлику сваке тачке података са средњом 5.
- 2 – 5 = -3
- 4 – 5 = -1
- 6 – 5 = 1
- 8 – 5 = 3
Сада квадратимо сваки од тих бројева и сабирамо их. (-3)2 + (-1)2 + 12 + 32 = 9 + 1 + 1 + 9 = 20.
Пример формуле пречице
Сада ћемо користити исти скуп података: 2, 4, 6, 8, уз формулу пречаца да одредимо суму квадрата. Сваку тачку података прво квадратујемо и сабирамо их: 22 + 42 + 62 + 82 = 4 + 16 + 36 + 64 = 120.
Следећи корак је да се саберу сви подаци и уврсти ова сума: (2 + 4 + 6 + 8)2 = 400. Дијелимо то са бројем података да бисмо добили 400/4 = 100.
Овај број одузимамо од 120. Ово нам даје да је збир квадратних одступања 20. То је био тачан број који смо већ пронашли из друге формуле.
Како ово ради?
Многи ће људи једноставно прихватити формулу по номиналној вредности и немају појма зашто та формула делује. Употребом мало алгебре можемо видети зашто је ова формула пречаца еквивалентна стандардном, традиционалном начину израчуна зброја квадратних одступања.
Иако у скупу података у стварном свету може бити на стотине, ако не и хиљаде вредности, претпоставићемо да постоје само три вредности података: к1, Икс2, Икс3. Оно што овде видимо може се проширити на скуп података који има хиљаде тачака.
Започињемо са примећивањем да (к1 + к2 + к3) = 3 к. Израз Σ (кја - Икс)2 = (к1 - Икс)2 + (к2 - Икс)2 + (к3 - Икс)2.
Сада користимо чињеницу из основне алгебре да (а + б)2 = а2 + 2аб + б2. То значи да (к1 - Икс)2 = к12 -2к1 к + к2. То радимо за друга два дела нашег сажетка и имамо:
Икс12 -2к1 к + к2 + к22 -2к2 к + к2 + к32 -2к3 к + к2.
Преуређујемо ово и имамо:
Икс12+ к22 + к32+ 3к2 - 2к (к)1 + к2 + к3) .
Преписивањем (к1 + к2 + к3) = 3к горе наведено постаје:
Икс12+ к22 + к32 - 3к2.
Сада од 3к2 = (к1+ к2 + к3)2/ 3, наша формула постаје:
Икс12+ к22 + к32 - (Икс1+ к2 + к3)2/3
А ово је посебан случај опште формуле која је горе поменута:
Σ (кја2) - (Σ к)ја)2/н
Да ли је то заиста пречица?
Можда се не чини да је ова формула заиста пречица. Уосталом, у горњем примеру се чини да постоји баш толико прорачуна. Део тога има везе са чињеницом да смо гледали само величину узорка која је била мала.
Како повећавамо величину нашег узорка, видимо да формула пречаца смањује број израчуна за отприлике половину. Не треба одузимати средњу вредност из сваке тачке података, а затим квадрат доделити резултату. То знатно смањује укупни број операција.