Нису сви бесконачни скупови исти. Један од начина да се разликују ови скупови јесте постављање питања да ли је скуп подручив бесконачно или не. На овај начин кажемо да су бесконачни скупови или бројиви или небројиви. Размотрићемо неколико примера бесконачних скупова и одредити који од ових су небројиви.
Изузетно бесконачно
Започињемо одбацивањем неколико примера бесконачних скупова. Многи од бесконачних скупова о којима бисмо одмах помислили налазе се као бескрајно бескрајни. То значи да их се може ускладити појединачно с природним бројевима.
Природни бројеви, цели бројеви и рационални бројеви сви су неизмерно бесконачни. Свако спајање или пресеци неизмерно бесконачних скупова такође се може мерити. Картезијански производ било којег броја бројивих рачунара може се рачунати. Било који подскуп броја који се броји такође може да се рачуна.
Небројиво
Најчешћи начин увођења небројивих скупова је разматрање интервала (0, 1) од реални бројеви. Из те чињенице и функције један на један ф( Икс ) =
бк + а. директан је доказ да је било који интервал (а, б) реалних бројева је неограничено бесконачно.Читав низ реалних бројева такође није могућ. Један од начина да се то покаже је употреба тангенцијске функције један на један ф ( Икс ) = тан Икс. Домена ове функције је интервал (-π / 2, π / 2), низ који се не може рачунати, а распон је скуп свих реалних бројева.
Остали небројиви сетови
Операције основне теорије скупова могу се користити за производњу више примера неограничено бесконачних скупова:
- Ако А је подскуп од Б и А тада се не може рачунати, Б. Ово пружа јаснији доказ да се читав низ реалних бројева не може рачунати.
- Ако А не може се рачунати и Б било који скуп, онда је унија А У Б такође се не може рачунати.
- Ако А не може се рачунати и Б је било који скуп, онда је картузијански производ А Икс Б такође се не може рачунати.
- Ако А је бесконачно (чак и неизмерно бесконачно) него оно сет снаге од А не може се рачунати.
Још два изненађујућа примера, помало изненађујућа. Није сваки подскуп стварних бројева неизмерно бесконачан (заиста, рационални бројеви формирају подброј реалних бројева који је такође густ). Одређене подгрупе су неограничено бесконачно.
Једна од тих бесконачно бесконачних подскупова укључује одређене врсте децималних експанзија. Ако изаберемо два броја и формирамо свако могуће децимално ширење само са ове две цифре, тада настали бесконачни скуп није могуће рачунати.
Други сет је сложенији за конструкцију и такође се не може избројати. Почните са затвореним интервалом [0,1]. Уклоните средину трећине овог скупа, што резултира [0, 1/3] У [2/3, 1]. Сада уклоните средњу трећину сваког преосталог дела комплета. Дакле (1/9, 2/9) и (7/9, 8/9) се уклања. Настављамо на овај начин. Скуп тачака који остају након уклањања свих ових интервала није интервал, међутим, он је неописиво бесконачан. Овај скуп се зове Цантор Сет.
Постоји бесконачно много небројивих скупова, али горњи примери су неки од најчешће сусрећених скупова.