Израчуни помоћу гама функције

Тхе гама функција се дефинише следећом сложеном формулом изгледа:

Γ ( з ) = ∫₀^∞е ^{- т}т^з-1дт

Једно питање које људи имају када први пут наиђу на ову збуњујућу једначину је: „Како користите ову формулу за израчунавање вредности гама функција? " Ово је важно питање јер је тешко знати шта та функција уопће значи и шта сви симболи стоје за.

Један од начина да се одговори на ово питање је преглед неколико примера израчуна са гама функцијом. Пре него што то учинимо, морамо знати неколико ствари из рачунице, као што су како да интегрирамо непримјерени интеграл типа И и то е је математичка константа.

Пре него што урадимо било које калкулације, испитујемо мотивацију која стоји иза ових калкулација. Много пута гама функције се појављују иза сцене. Неколико функција густине вероватноће је наведено у смислу гама функције. Примјери укључују дистрибуцију гама и т-дистрибуцију ученика. Важност гама функције не може се прецијенити.

Први пример израчуна који ћемо проучавати је проналажење вредности гама функције за Γ (1). Ово се утврђује подешавањем з = 1 у горњој формули:

∫₀^∞е ^{- т}дт

Горњи интеграл израчунавамо у два корака:

• Неодређени интеграл ∫е ^{- т}дт= -е ^{- т} + Ц
• Ово је неисправан интеграл, па имамо ∫₀^∞е ^{- т}дт = лим_{б → ∞} -е ^{- б} + е ⁰ = 1

Следећи пример израчуна који ћемо размотрити сличан је последњем примеру, али повећавамо вредност з од 1. Сада израчунавамо вредност гама функције за Γ (2) подешавањем з = 2 у горњој формули. Кораци су исти као горе:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞е ^{- т}т дт

Неодређени интеграл ∫те ^{- т}дт=- Те ^{- т} -е ^{- т} + Ц. Иако смо само повећали вредност з са 1, потребно је више рада да се израчуна овај интеграл. Да бисмо пронашли овај интеграл, морамо користити технику израчуната познату као интеграција по деловима. Сада користимо границе интеграције као горе, и морамо израчунати:

лим_{б → ∞}- бити ^{- б} -е ^{- б} -0е ⁰ + е ⁰.

Резултат израчуна, познат као Л’Хоспитал-ово правило, омогућава нам да израчунамо ограничење лимита_{б → ∞}- бити ^{- б} = 0. То значи да је вредност нашег интеграла изнад 1.

Још једна карактеристика гама функције и она која је повезује са фактографски је формула Γ (з +1 ) =зΓ (з ) за з било који сложен број са позитивном прави део. Разлог зашто је то тачно је директан резултат формуле гама функције. Помоћу интеграције по деловима можемо успоставити ово својство гама функције.