Једно природно питање које треба поставити о расподјели вјероватноће је: "Шта је његово средиште?" Очекивана вредност је једно такво мерење средишта расподеле вероватноће. Будући да мери средњу вредност, не треба чудити да је ова формула изведена из средње вредности.
Да бисмо успоставили почетну тачку, морамо одговорити на питање: "Која је очекивана вредност?" Претпоставимо да имамо случајну варијаблу повезану са експериментом вероватноће. Рецимо да овај експеримент понављамо изнова и изнова. Дугорочно из више понављања истог експеримента вероватноће, ако упоредимо све наше вредности Случајна променљива, добили бисмо очекивану вредност.
У наставку ћемо видјети како користити формулу за очекивану вриједност. Погледаћемо и дискретне и непрекидне поставке и видети сличности и разлике у формулама.
Формула за дискретну случајну променљиву
Започињемо анализом дискретног случаја. С обзиром на дискретну случајну променљиву Икс, претпоставимо да има вредности Икс1, Икс2, Икс3,... Иксни одговарајуће вероватноће
п1, п2, п3,... пн. То говори да функција вјероватне масе за ову случајну варијаблу даје ф(Иксја) = пја.Очекивана вредност Икс се даје формулом:
Е (Икс) = Икс1п1 + Икс2п2 + Икс3п3 +... + Икснпн.
Употреба функције вероватноће масе и нотације сакупљања омогућава нам да компактније напишемо ову формулу на следећи начин, где се сумација преузме над индексом ја:
Е (Икс) = Σ Иксјаф(Иксја).
Ову верзију формуле је корисно видети јер делује и када имамо бесконачни простор узорка. Ова формула се такође лако може подесити за континуирани случај.
Пример
Три пута баци новчић и пусти га Икс бити број глава. Насумична променљива Икс је дискретна и коначна. Једине могуће вредности које можемо имати су 0, 1, 2 и 3. Ово има вјероватноћу расподјеле 1/8 за Икс = 0, 3/8 за Икс = 1, 3/8 за Икс = 2, 1/8 фор Икс = 3. Користите формулу очекиване вредности да бисте добили:
(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5
У овом примеру видимо да ћемо, на дуже стазе, од овог експеримента просечити укупно 1,5 грла. То има смисла са нашом интуицијом, јер је половина 3 1,5.
Формула за континуирану случајну променљиву
Сада се окрећемо непрекидној случајној варијабли, коју ћемо означити Икс. Пустићемо функцију густине вероватноће од Икс бити дат функцијом ф(Икс).
Очекивана вредност Икс се даје формулом:
Е (Икс) = ∫ к ф(Икс) дИкс.
Овде видимо да се очекивана вредност наше случајне променљиве изражава као интеграл.
Примене очекиване вредности
Има их много апликације за очекивану вредност случајне променљиве. Ова формула даје занимљив изглед у Санкт Петербург Парадокс.