Која је очекивана вредност у вероватноћи?

На карневалу сте и видите утакмицу. За 2 долара избаците стандардни шестострани калуп. Ако је приказан број шест, добијате 10 УСД, у супротном не добијате ништа. Ако покушавате зарадити, да ли вам је у интересу да играте игру? За одговор на такво питање потребан нам је концепт очекиване вредности.

Очекивану вредност заиста можемо замислити као средњу случајну варијаблу. То значи да ако сте извели експеримент вероватноће поново и поново, пратећи резултате, очекивана вредност је просек свих добијених вредности. Очекивана вредност је оно што бисте требали очекивати да ће се догодити у току многих суђења игре на срећу.

Горе поменута карневалска игра пример је дискретне случајне променљиве. Променљива није континуирана и сваки исход долази до нас у броју који се може одвојити од осталих. Да бисте пронашли очекивану вредност игре која има исходе Икс₁, Икс₂,..., Икс_н са вероватноћама п₁, п₂,... , п_н, израчунајте:

Икс₁п₁ + Икс₂п₂ +... + Икс_нп_н.

За горњу игру имате 5/6 вероватноће да ништа нећете добити. Вредност овог исхода је -2 јер сте за играње потрошили 2 УСД. Шест има 1/6 вероватноћу да се појави, а ова вредност има исход 8. Зашто 8, а не 10? Опет морамо да обрачунамо 2 долара која смо платили да играмо, а 10 - 2 = 8.

Сада укључите ове вредности и вероватноће у очекиване формула вредности и на крају са: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. То значи да би током дужег времена требало очекивати да изгубите у просеку око 33 цента сваки пут када играте ову игру. Да, понекад ћете победити. Али губит ћете чешће.

Сада претпоставимо да је карневалска игра мало измењена. За исту улазницу од 2 УСД, ако је приказан број шест, тада добијате 12 УСД, у супротном, не добијате ништа. Очекивана вредност ове игре је -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. Дугорочно нећете изгубити новац, али нећете ни добити. Не очекујте да на локалном карневалу видите игру с овим бројевима. Ако дугорочно нећете изгубити новац, онда карневал неће зарадити.

Сада се окрените казину. На исти начин као и раније, можемо израчунати очекивану вредност игара на срећу, као што је рулет. У САД колу са рулетима има 38 нумерисаних прореза од 1 до 36, 0 и 00. Половина од 1-36 је црвена, половина црна. И 0 и 00 су зелене боје. Лопта насумично слети у један од места, а опкладе се постављају на место где ће лопта слети.

Једна од најједноставнијих опклада је опклада на црвено. Овде ако уложите 1 УСД и лопта слети на црвени број у колу, тада ћете освојити 2 УСД. Ако лопта слети на црни или зелени простор у колу, не добијате ништа. Која је очекивана вредност на опклади попут ове? Пошто постоји 18 црвених размака, постоји вероватноћа да се победи 18/38, са нето добитком од 1 УСД. Постоји 20/38 вероватноћа да ћете изгубити почетну опкладу од 1 УСД. Очекивана вредност ове опкладе у рулета је 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, што је око 5,3 цента. Овде кућа има благи руб (као и код свих касино игара).

Као још један пример, погледајте а лутрија. Иако се милиони могу освојити за цијену карте од 1 УСД, очекивана вриједност игре на лутрији показује колико је неправедно конструисана. Претпоставимо да за 1 УСД изаберете шест бројева од 1 до 48. Вероватноћа да правилно изаберете свих шест бројева је 1 / 12,271,512. Ако освојите милион долара за исправљање свих шест, која је очекивана вредност ове лутрије? Могуће вредности су - 1 УСД за губитак и 999,999 УСД за победу (опет морамо узети у обзир трошкове играња и одузети их од добитка). То нам даје очекивану вредност:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

Дакле, ако бисте играли лутрију изнова и изнова, дугорочно губите око 92 цента - готово целу цену улазница - сваки пут када играте.

Сви горе наведени примери изгледају дискретно Случајна променљива. Међутим, могуће је дефинирати и очекивану вриједност за континуирану случајну варијаблу. Све што у овом случају морамо учинити је да зброј у нашој формули заменимо интегралним.

Важно је запамтити да је очекивана вредност просечна после многих испитивања од случајни процес. У кратком року, просек случајне променљиве може значајно да варира од очекиване вредности.