Радни лист за Чебишеву неједнакост

Чебишева неједнакост каже да најмање 1 -1 /К² подаци из узорка морају бити унутар Кстандардна одступања од значити, гдеК да ли је било који позитиван стварни број већи од једног. То значи да не требамо знати облик дистрибуције наших података. Са само средњом и стандардном девијацијом можемо одредити количину података одређени број стандардних одступања од средње.

Следе неки проблеми за вежбање неједнакости.

Разред другоразредних грејдера има средњу висину од пет стопа са стандардним одступањем од једног инча. Барем колики проценат класе мора бити између 4 и 10 “до 5“?

Висине које су дате у горњем распону су унутар два стандардна одступања од средње висине од пет стопа. Чебишева неједнакост каже да је најмање 1 - 1/2² = 3/4 = 75% класе је у датом распону висине.

Откривено је да рачунари одређене компаније трају у просеку три године без икаквог квара хардвера, са стандардним одступањем од два месеца. Барем који проценат рачунара траје између 31 и 41 месеца?

Средњи животни век од три године одговара 36 месеци. Времена од 31 месеца до 41 месеца су свака 5/2 = 2,5 стандардна одступања од средње вредности. По Чебишевој неједнакости, најмање 1 - 1 / (2.5) 6² = 84% рачунара траје од 31 месеца до 41 месеца.

Бактерије у култури живе у просеку три сата са стандардним одступањем од 10 минута. Барем који део бактерија живи између два и четири сата?

Два и четири сата су сваки сат удаљени од средње вриједности. Један сат одговара шест стандардних одступања. Тако барем 1 - 1/6² = 35/36 = 97% бактерија живи између два и четири сата.

Који је најмањи број стандардних одступања од средње вриједности коју морамо прећи ако желимо осигурати да имамо најмање 50% података дистрибуције?

Овде користимо Чебишеву неједнакост и радимо уназад. Желимо 50% = 0,50 = 1/2 = 1 - 1 /К². Циљ је користити алгебру за решавање К.

Видимо да је 1/2 = 1 /К². Укрсти се помножити и видети да је 2 =К². Узимамо квадратни корен обеју страна и од тада К је број стандардних одступања, занемаримо негативно решење једначине. То показује то К једнак је квадратном корену два. Тако је најмање 50% података унутар отприлике 1,4 стандардна одступања од средње вриједности.

Рута аутобуса бр. 25 траје у просеку 50 минута, са стандардним одступањем од 2 минута. Промотивни плакат за овај аутобуски систем каже да „95% временске линије број 25 траје од ____ до _____ минута.“ Којим бројевима бисте попунили празнине?

Ово је питање слично ономе последњем у коме треба да решимо К, број стандардних одступања од средње вриједности. Започните подешавањем 95% = 0,95 = 1 - 1 /К². То показује да је 1 - 0,95 = 1 /К². Поједноставите да видите да је 1 / 0,05 = 20 = К². Тако К = 4.47.

Сада то изразите горе наведеним терминима. Најмање 95% свих вожња је 4.47 стандардних одступања од средњег времена од 50 минута. Помножите 4.47 са стандардном девијацијом од 2 до краја са девет минута. Тако 95% времена аутобуска линија бр. 25 траје између 41 и 59 минута.