Шта је Маркова неједнакост?

Маркова неједнакост је користан резултат у вероватноћи која даје информације о расподела. Изузетан аспект у вези с тим је да неједнакост важи за сваку дистрибуцију са позитивним вредностима, без обзира које друге карактеристике има. Маркова неједнакост даје горњу границу за проценат расподеле који је изнад одређене вредности.

Маркова неједнакост каже да је то позитивна случајна варијабла Икс и било који позитиван стварни броја, вероватноћа да Икс је већа или једнака а је мање или једнако Очекивана вредност од Икс подељено са а.

Горњи опис се може сажетије употребити математичким нотацијама. У симболима пишемо Маркову неједнакост као:

П (Икс ≥ а) ≤ Е( Икс) /а

Да бисмо илустровали неједнакост, претпоставимо да имамо дистрибуцију са ненегативним вредностима (као што је а хи-квадратна дистрибуција). Ако је ова случајна променљива Икс је очекивана вредност од 3, гледаћемо вероватноће за неколико вредности од а.

• За а = 10 Маркова неједнакост каже то П (Икс ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. Дакле, постоји вероватноћа од 30% Икс је већи од 10.
instagram viewer
• За а = 30 Маркова неједнакост каже то П (Икс ≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. Дакле, постоји вероватноћа од 10% Икс је већи од 30.
• За а = 3 Маркова неједнакост каже то П (Икс ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. Догађаји са вероватноћом од 1 = 100% су извесни. Дакле, ово говори да је нека вредност случајне променљиве већа или једнака 3. Ово не би требало бити превише изненађујуће. Ако су све вредности Икс били мањи од 3, тада би и очекивана вредност била мања од 3.
• Као вредност а повећава се квоцијент Е(Икс) /а постаће све мањи и мањи. То значи да је вероватноћа да је то врло мала Икс је веома, веома велико. Опет, с очекиваном вриједношћу од 3, не бисмо очекивали да ће бити велике дистрибуције с вриједностима које су биле врло велике.

Ако знамо више о дистрибуцији са којом радимо, обично можемо побољшати Маркову неједнакост. Вредност употребе је у томе што се односи на било коју дистрибуцију са негативним вредностима.

На пример, ако знамо средњу висину ученика у основној школи. Маркова неједнакост говори о томе да више од шестине ученика не може да има висину већу од шест пута већу од средње висине.

Друга главна употреба Маркове неједнакости је доказивање Чебишева неједнакост. Ова чињеница резултира тиме да се назив „Чебишева неједнакост“ примењује и на Маркову неједнакост. Збуњеност именовања неједнакости такође је последица историјских околности. Андреи Марков је био студент Пафнутија Чебишева. Чебишево дело садржи неједнакост која се приписује Маркову.