Вероватноћа удруживања од 3 или више сетова

Кад су два догађаја међусобно искључују, њихова вероватноћа унија може се израчунати са правило додавања. Знамо да за ваљање матрице, котрљање броја већег од четири или броја мањег од три међусобно су искључиви догађаји, а немају ништа заједничко. Дакле, да бисмо пронашли вероватноћу овог догађаја, једноставно додајемо вероватноћу да смо избацили број већи од четири, вероватноћу да смо избацили број мањи од три. У симболима имамо следеће место где је главни град П означава "вероватноћу":

П(веће од четири или мање од три) = П(веће од четири) + П(мање од три) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Ако су догађаји не међусобно искључиви, онда не вероватно једноставно збрајамо вероватноће догађаја, већ морамо да одузмемо вероватноћу догађаја раскрсница догађаја. С обзиром на догађаје А и Б:

П(А У Б) = П(А) + П(Б) - П(А ∩ Б).

Овде обрачунавамо могућност двоструког бројања оних елемената који су у оба А и Би зато одузимамо вероватноћу пресека.

Питање које из тога произлази гласи: „Зашто престати са два сета? Колика је вероватноћа спајања више од два скупа? "

Проширит ћемо горње идеје на ситуацију у којој имамо три скупа, која ћемо означити А, Б, и Ц. Нећемо претпоставити ништа више од овога, тако да постоји могућност да скупови имају не-празно пресек. Циљ ће бити израчунати вероватноћа о сједињењу ова три скупа, или П (А У Б У Ц).

Горња дискусија за два скупа још увек траје. Вероватноће појединих скупова можемо сабрати А, Б, и Ц, али радећи то двоструко смо рачунали неке елементе.

Елементи у пресеку А и Б двоструко су бројени као и до сада, али сада постоје и други елементи који су потенцијално бројени два пута. Елементи у пресеку А и Ц и на раскрсници од Б и Ц сада се такође броје два пута. Дакле вероватноће од ових раскрсница мора се одузети.

Али да ли смо превише одузели? Има нечег новог за узети у обзир да нисмо морали да бринемо када су постојала само два сета. Као што свака два скупа могу имати пресек, тако и сва три скупа могу имати пресек. Покушавајући да будемо сигурни да нисмо ништа пребројили, нисмо рачунали на све оне елементе који се појављују у сва три скупа. Дакле, вероватноћа пресека сва три скупа се мора додати.

Ево формуле која је изведена из горње расправе:

П (А У Б У Ц) = П(А) + П(Б) + П(Ц) - П(А ∩ Б) - П(А ∩ Ц) - П(Б ∩ Ц) + П(А ∩ Б ∩ Ц)

Да бисмо видели формулу вероватноће обједињавања три скупа, претпоставимо да играмо игру на плочи која укључује котрљање две коцкице. Због правила игре, морамо добити барем једну матрицу да бисмо били две, три или четири да бисмо победили. Колика је вероватноћа за то? Приметили смо да покушавамо да израчунамо вероватноћу спајања три догађаја: ваљања најмање једног два, ваљања најмање једног три, ваљања најмање једног четири. Дакле, горњу формулу можемо користити са следећим вероватноћама:

• Вероватноћа котрљања двојке је 11/36. Бројач овде произилази из чињенице да постоји шест исхода у којима је први умрети дво, шест у коме је други умро, а један је резултат када су две коцке две. То нам даје 6 + 6 - 1 = 11.
• Вероватноћа превртања тројке је 11/36, из истог разлога као и горе.
• Вероватноћа превртања четворке је 11/36, из истог разлога као горе.
• Вероватноћа котрљања двојке и тројке је 2/36. Овде једноставно можемо набројати могућности, двоје би могло доћи прво или може доћи друго.
• Вероватноћа котрљања два и четири је 2/36, из истог разлога која је вероватноћа две и три је 2/36.
• Вероватноћа котрљања два, три и четири је 0, јер само смо две коцке и нема начина да добијемо три броја са две коцкице.

Сада користимо формулу и видимо да је вероватноћа да добијемо бар два, три или четири

11/36 + 11/36 + 11/36 – 2/36 – 2/36 – 2/36 + 0 = 27/36.

Разлог због којег формула за вероватноћу сједињења четири скупа има облик сличан је решењу за формулу за три скупа. Како се број сетова повећава, тако се повећава и број парова, троструких и тако даље. Са четири скупа постоји шест парних пресека који се морају одузети, четири трострука пресека да би се поново додали, а сада је четвороструки пресек који треба одузети. С обзиром на четири сета А, Б, Ц и Д, формула за сједињење ових скупова је следећа:

П (А У Б У Ц У Д) = П(А) + П(Б) + П(Ц) +П(Д) - П(А ∩ Б) - П(А ∩ Ц) - П(А ∩ Д)- П(Б ∩ Ц) - П(Б ∩ Д) - П(Ц ∩ Д) + П(А ∩ Б ∩ Ц) + П(А ∩ Б ∩ Д) + П(А ∩ Ц ∩ Д) + П(Б ∩ Ц ∩ Д) - П(А ∩ Б ∩ Ц ∩ Д).

Могли бисмо написати формуле (које би изгледале још страшније од горњих) за вероватноћу спајања више од четири скупа, али из проучавања горњих формула треба приметити неке обрасце. Ови обрасци се рачунају за израчун синдиката више од четири скупа. Вероватноћа спајања било ког броја скупова може се наћи на следећи начин:

1. Додајте вероватноће појединих догађаја.
2. Одузимите вероватноће пресека сваког пара догађаја.
3. Додајте вероватноће пресека сваког скупа од три догађаја.
4. Одузимите вероватноће пресека сваког скупа од четири догађаја.
5. Наставите овај процес све док последња вероватноћа не буде пресек укупног броја скупова са којима смо започели.