Функција генерисања момента за биномну дистрибуцију

Средња вредност и варијанца случајне променљиве Икс са биномна дистрибуција вероватноће може бити тешко директно израчунати. Иако може бити јасно шта треба учинити у коришћењу дефиниције Очекивана вредност од Икс и Икс², стварно извршавање ових корака је лукаво жонглирање алгебром и сумирањем. Алтернативни начин да се одреди средња вредност и одступање а биномна дистрибуција је употреба функција генерисања момента за Икс.

Започните са случајном променљивом Икс и описати расподела конкретно. Перформ н независна суђења Берноулију, од којих свако има вероватноћу успеха п и вероватноћа неуспеха 1 - п. Према томе, функција вероватноће масе је

ф (Икс) = Ц(н, Икс)п^Икс(1 – п)^{н - Икс}

Овде израз Ц(н, Икс) означава број комбинација н узети елементи Икс у исто време и Икс може да прими вредности 0, 1, 2, 3,. .., н.

Помоћу ове функције масе вероватноће добијате функцију генерисања момента Икс:

М(т) = Σ_{Икс = 0}^не^ткЦ(н,Икс)>)п^Икс(1 – п)^{н - Икс}.

Постаје јасно да термине можете комбиновати са експонентом Икс:

М(т) = Σ_{Икс = 0}^н (пе^т)^ИксЦ(н,Икс)>)(1 – п)^{н - Икс}.

Надаље, употребом биномне формуле, горњи израз је једноставно:

М(т) = [(1 – п) + пе^т]^н.

Да би пронашли значити и варијансу, морат ћете знати оба М(0) и М’’(0). Започните с израчунавањем својих деривата, а затим процените сваки од њих на т = 0.

Видећете да је прва изведеница функције генерисања тренутка:

М’(т) = н(пе^т)[(1 – п) + пе^т]^{н - 1}.

Из тога можете израчунати средину расподјеле вјероватноће. М(0) = н(пе⁰)[(1 – п) + пе⁰]^{н - 1} = нп. То одговара изразу који смо добили директно из дефиниције средње вредности.

Прорачун варијанце се изводи на сличан начин. Прво, диференцирајте функцију која генерише момент, а затим процењујемо овај дериват на т = 0. Ево видећете то

М’’(т) = н(н - 1)(пе^т)²[(1 – п) + пе^т]^{н - 2} + н(пе^т)[(1 – п) + пе^т]^{н - 1}.

Да бисте израчунали варијанцу ове случајне променљиве коју требате да пронађете М’’(т). Овде имате М’’(0) = н(н - 1)п² +нп. Варијација σ² ваше дистрибуције је

σ² = М’’(0) – [М’(0)]² = н(н - 1)п² +нп - (нп)² = нп(1 - п).

Иако је ова метода донекле укључена, није толико компликована као израчунавање средње вредности и одступања директно из функције масе вероватноће.