Који су тренуци у статистици?

Тренуци у математичкој статистици укључују основни прорачун. Ови израчуни могу се користити за проналажење средње вредности, одступања и нагњености расподеле вероватноће.

Претпоставимо да имамо скуп података са укупно низолован бодова. Један важан израчун, који је заправо неколико бројева, назива се стх момент. Тхе смоменат скупа података са вредностима Икс₁, Икс₂, Икс₃,..., Икс_н се даје формулом:

(Икс₁^с + Икс₂^с + Икс₃^с +... + Икс_н^с)/н

Употреба ове формуле захтева да будемо пажљиви са својим редоследом операција. Прво морамо да урадимо експоненте, додамо, а затим делимо ову суму са н укупан број података.

Термин тренутак преузет је из физике. У физици се момент система тачкастих маса израчунава формулом идентичном оној горњој, а ова формула се користи у проналажењу центра масе тачака. У статистици, вредности више нису масе, али као што ћемо видети, моменти у статистици још увек мере нешто у односу на средиште вредности.

Први тренутак смо кренули с = 1. Формула за први тренутак је следећа:

(Икс₁Икс₂ + Икс₃ +... + Икс_н)/н

То је идентично формули за узорак значити.

Први тренутак вредности 1, 3, 6, 10 је (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.

За други тренутак смо кренули с = 2. Формула другог тренутка је:

(Икс₁² + Икс₂² + Икс₃² +... + Икс_н²)/н

Други тренутак вредности 1, 3, 6, 10 је (1² + 3² + 6² + 10²) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.

Трећи тренутак смо кренули с = 3. Формула за трећи тренутак је:

(Икс₁³ + Икс₂³ + Икс₃³ +... + Икс_н³)/н

Трећи тренутак вредности 1, 3, 6, 10 је (1³ + 3³ + 6³ + 10³) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.

Виши моменти се могу израчунати на сличан начин. Само замените с у горњој формули са бројем који означава жељени тренутак.

Сродна идеја је идеја о смоменат о злу. У овом прорачуну изводимо следеће кораке:

1. Прво израчунајте средњу вредност.
2. Затим одузмите ову средину од сваке вредности.
3. Затим сваку од тих разлика подигните на стх повер.
4. Сада додајте бројеве из корака # 3 заједно.
5. На крају, поделите ову суму са бројем вредности са којима смо започели.

Формула за смоменат о злу м вредности вредности Икс₁, Икс₂, Икс₃,..., Икс_н даје:

м_с = ((Икс₁ - м)^с + (Икс₂ - м)^с + (Икс₃ - м)^с +... + (Икс_н - м)^с)/н

Први тренутак око средње вриједности увек је једнак нули, без обзира на то са којим скупом података радимо. То се може видети у следећем:

м₁ = ((Икс₁ - м) + (Икс₂ - м) + (Икс₃ - м) +... + (Икс_н - м))/н = ((Икс₁+ Икс₂ + Икс₃ +... + Икс_н) - нм)/н = м - м = 0.

Други тренутак око средње вредности добијен је из горње формуле постављањемс = 2:

м₂ = ((Икс₁ - м)² + (Икс₂ - м)² + (Икс₃ - м)² +... + (Икс_н - м)²)/н

Ова формула је једнака оној за варијансу узорка.

На пример, размотрите скупове 1, 3, 6, 10. Већ смо израчунали средину овог скупа на 5. Одузмите ово од сваке од вредности података да бисте добили разлике:

• 1 – 5 = -4
• 3 – 5 = -2
• 6 – 5 = 1
• 10 – 5 = 5

Сваку од ових вредности уврстимо у квадрат и саберимо их: (-4)² + (-2)² + 1² + 5² = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. На крају поделите овај број са бројем података: 46/4 = 11.5

Као што је горе поменуто, први тренутак је средња вредност, а други тренутак средине је узорак променљив. Карл Пеарсон представио је употребу трећег тренутка о средњем току израчунавања скевнесс и четврти тренутак о средњој вредности израчуна куртоза.