Случајне варијабле са биномном расподјелом за које се зна да су дискретни. То значи да постоји одређени број исхода који се могу догодити у биномној дистрибуцији, с раздвајањем између тих исхода. На примјер, биномна варијабла може узети вриједност три или четири, али не и број између три и четири.
С дискретним карактером биномне дистрибуције, помало је изненађујуће да се континуирана случајна варијабла може користити за приближавање биномне дистрибуције. За многе биномне дистрибуције, можемо користити нормалну дистрибуцију да бисмо приближили нашим биномним вероватноћама.
То се може видети када погледате н бацање кованица и издавање Икс бити број глава. У овој ситуацији имамо биномну дистрибуцију са вероватноћом успеха као п = 0,5. Како повећавамо број бацања, видимо да је то вероватноћа хистограм има већу и већу сличност са нормалном дистрибуцијом.
Изјава о нормалном приближавању
Сваку нормалну дистрибуцију у потпуности дефинишу двије реални бројеви. Ови бројеви су средња вредност која мери средиште дистрибуције и
стандардна девијација, који мери ширење дистрибуције. За дату биномну ситуацију морамо бити у стању да одредимо коју нормалну дистрибуцију да користимо.Одабир исправне нормалне дистрибуције одређује се бројем испитивања н у биномном окружењу и сталној вероватноћи успеха п за свако од ових испитивања. Нормална апроксимација за нашу биномну променљиву је средња вредност нп и стандардна девијација (нп(1 - п)0.5.
Рецимо, претпоставимо да смо на сваких од 100 питања теста са више избора погодили, где је свако питање имало један тачан одговор из четири избора. Број тачних одговора Икс је биномна случајна променљива са н = 100 и п = 0.25. Тако ова случајна варијабла има средњу вредност 100 (0,25) = 25 и стандардну девијацију (100 (0,25) (0,75))0.5 = 4.33. Нормална дистрибуција са средњом 25 и стандардном девијацијом од 4,33 ће радити на приближавању ове биномне дистрибуције.
Када је приближавање одговарајуће?
Помоћу неке математике може се показати да постоји неколико услова за које морамо да користимо нормалну апроксимацију биномна дистрибуција. Број запажања н мора бити довољно велика, и вредност п тако да обоје нп и н(1 - п) веће су или једнаке 10. Ово је правило које се води у статистичкој пракси. Увек се може користити нормална апроксимација, али ако ти услови нису испуњени, апроксимација можда неће бити тако добра од апроксимације.
На пример, ако н = 100 и п = 0,25, тада смо оправдани у употреби нормалне апроксимације. То је зато нп = 25 и н(1 - п) = 75. Пошто су оба ова броја већа од 10, одговарајућа нормална дистрибуција ће учинити прилично добар посао процене биномних вероватноћа.
Зашто користити апроксимацију?
Биномне вероватноће се израчунавају коришћењем врло једноставне формуле за проналажење биномног коефицијента. Нажалост, због фабрике у формули може бити врло лако наићи на тешкоће у рачунању са биномни формула. Нормална апроксимација омогућава нам да заобиђемо било који од ових проблема радећи са познатим пријатељем, табелом вредности стандардне нормалне дистрибуције.
Много је пута одредјивање вероватноће да се биномна случајна променљива налази у опсегу вредности заморно је израчунати. То је због проналаска вероватноће да је биномна променљива Икс је већа од 3 и мања од 10, морали бисмо пронаћи вероватноћу да Икс једнака је 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а затим збројите све ове вероватноће. Ако се може користити нормална апроксимација, мораћемо уместо тога одредити з-резултате који одговарају 3 и 10, а затим користити з-оцену табеле вероватноћа за стандардна нормална дистрибуција.