Која је разлика између два скупа у теорији скупа?

Разлика два скупа, писано А - Б је скуп свих елемената А који нису елементи Б. Операција разлике, заједно са унијом и раскрсницом, је важна и операција фундаменталне теорије скупова.

О одузимању једног броја од другог може се размишљати на много различитих начина. Један модел који ће вам помоћи у разумевању овог концепта назива се модел преузимања одузимање. У овом случају, проблем 5 - 2 = 3 показао би се почевши од пет објеката, уклонивши два од њих и рачунајући да су остала три. На сличан начин на који налазимо разлику између два броја, можемо пронаћи и разлику двају скупова.

Размотрићемо пример постављене разлике. Да видим како је разлика између два сетови формира нови сет, размотримо скупове А = {1, 2, 3, 4, 5} и Б = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Да бисте пронашли разлику А - Б од ова два скупа, почећемо с писањем свих елемената А, а затим им одузети сваки елемент А то је такође елемент Б. Од А дели елементе 3, 4 и 5 са Б, то нам даје постављену разлику А - Б = {1, 2}.

Као што нам разлике 4 - 7 и 7 - 4 дају различите одговоре, морамо бити пажљиви у редоследу израчунавања постављене разлике. Да бисмо користили технички термин из математике, рекли бисмо да постављена операција разлике није комутативна. То значи да генерално не можемо променити редослед разлике између два низа и очекивати исти резултат. То прецизније можемо рећи за све скупове А и Б, А - Б није једнак Б - А.

Да бисте то видели, вратите се на горњи пример. То смо израчунали за скупове А = {1, 2, 3, 4, 5} и Б = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, разлика А - Б = {1, 2 }. Да упоредим ово са Б - А, почињемо са елементима Б, који су 3, 4, 5, 6, 7, 8, а затим уклоните 3, 4 и 5, јер су ови заједнички са А. Резултат је Б - А = {6, 7, 8 }. Овај пример нам то јасно показује А - Б није једнак Б - А.

Једна врста разлике је довољно битна да заслужује своје посебно име и симбол. То се назива комплемент, а користи се за постављену разлику када први сет је универзални сет. Комплементација А се даје изразом У - А. То се односи на скуп свих елемената у универзалном скупу који нису елементи А. Пошто се подразумева да скуп елемената од којих можемо бирати узете су из универзалног сета, можемо једноставно рећи да је комплемент А је скуп који се састоји од елемената који нису елементи А.

Комплемент комплета је у односу на универзални сет са којим радимо. Са А = {1, 2, 3} и У = {1, 2, 3, 4, 5}, комплемент А је {4, 5}. Ако је наш универзални сет другачији, рецимо У = {-3, -2, 0, 1, 2, 3}, затим комплемент од А {-3, -2, -1, 0}. Увек обратите пажњу на то који се универзални сет користи.

Реч "комплемент" започиње словом Ц, па се ово користи у нотацији. Допуна комплета А је написано као А^Ц. Тако да у симболима можемо изразити комплемент као: А^Ц = У - А.

Други начин који се обично користи за означавање комплемента скупа укључује апострофу и пише се као А'.

Постоји много постављених идентитета који укључују употребу разлика и операција допуњавања. Неки идентитети комбинују друге скупе операције као што су раскрсница и унија. Неколико важнијих је наведено у наставку. За све сетове А, и Б и Д имамо:

• А - А =∅
• А - ∅ = А
• ∅ - А = ∅
• А - У = ∅
• (А^Ц)^Ц = А
• ДеМорган-ов закон И: (А ∩ Б)^Ц = А^Ц ∪ Б^Ц
• ДеМорган-ов закон ИИ: (А ∪ Б)^Ц = А^Ц ∩ Б^Ц