Решења за изазивање проблема са пребројавањем

Бројање може изгледати као лак задатак за обављање. Како дубље улазимо у то подручје математика познат као комбинаторика, схватамо да наилазимо на неки велики број. Од тада фактографски се појављује тако често, а број као што је 10! је већа од три милион, бројање проблема се може брзо закомпликовати ако покушамо да набројимо све могућности.

Понекад када размотримо све могућности које наши проблеми са бројењем могу да искористе, лакше је размислити о основним принципима проблема. Ова стратегија може трајати много мање времена него покушај грубе силе да се наброји одређени број комбинације или пермутације.

Питање "На колико начина се нешто може учинити?" је потпуно другачије питање од „Који су начини да се нешто може учинити? "Видећемо ову идеју на делу у следећем сету бројања изазова проблеми.

Следећи скуп питања укључује реч ТРИАНГЛЕ. Имајте на уму да има укупно осам слова. Нека се разуме да самогласници речи ТРИАНГЛЕ су АЕИ, а сугласници речи ТРИАНГЛЕ су ЛГНРТ. За прави изазов, пре читања даље погледајте верзију ових проблема без решења.

1. На који начин се могу сложити слова речи ТРИАНГЛЕ?
   Решење: Овде је укупно осам избора за прво слово, седам за друго, шест за треће и тако даље. По принципу множења множимо за укупно 8 к 7 к 6 к 5 к 4 к 3 к 2 к 1 = 8! = 40.320 различитих начина.
2. На који начин се могу сложити слова речи ТРИАНГЛЕ ако прва три слова морају бити РАН (у том тачном редоследу)?
   Решење: Прва три слова су одабрана за нас, остављајући нам пет слова. Након РАН-а имамо пет избора за следеће слово, а затим четири, затим три, затим два, а затим једно. По принципу множења постоји 5 к 4 к 3 к 2 к 1 = 5! = 120 начина слагања слова на одређени начин.
3. На који начин се могу сложити слова речи ТРИАНГЛЕ ако прва три слова морају бити РАН (било којим редоследом)?
   Решење: Погледајте ово као два независна задатка: први је сређивање слова РАН, а други сређивање осталих пет слова. Има их 3! = 6 начина да уредите РАН и 5! Начини слагања осталих пет слова. Дакле, има их укупно 3! к 5! = 720 начина да сложите слова ТРИАНГЛЕ како је наведено.
4. На који начин се могу сложити слова речи ТРИАНГЛЕ ако прва три слова морају бити РАН (било којим редоследом), а последње слово мора бити самогласник?
   Решење: Погледајте ово као три задатка: први сређује слова РАН, други бира један самогласник из И и Е, а трећи сређује остала четири слова. Има их 3! = 6 начина да средите РАН, 2 начина да одаберете самогласник из преосталих слова и 4! Начини аранжирања остала четири слова. Дакле, има их укупно 3! Кс 2 к 4! = 288 начина да сложите слова ТРИАНГЛЕ како је наведено.
5. На који начин се могу сложити слова речи ТРИАНГЛЕ ако прве три слова морају бити РАН (било којим редоследом), а наредне три слова морају бити ТРИ (било којим редоследом)?
   Решење: Опет имамо три задатка: први је сређивао слова РАН, други сређивао слова ТРИ и трећи аранжирао друга два слова. Има их 3! = 6 начина да уредите РАН, 3! начина да средите ТРИ и два начина да средите друга слова. Дакле, има их укупно 3! к 3! Кс 2 = 72 начина да сложите слова ТРИАНГЛЕ како је назначено.
6. На колико различитих начина се могу сложити слова речи ТРИАНГЛЕ ако се редослед и положај самогласника ИАЕ не могу променити?
   Решење: Три самогласника се морају држати истим редоследом. Сада има укупно пет сугласника које треба договорити. То се може учинити за 5! = 120 начина.
7. На колико различитих начина се могу сложити слова речи ТРИАНГЛЕ ако редослед самогласника ИАЕ не може променити, мада је њихов пласман можда (ИАЕТРНГЛ и ТРИАНГЕЛ прихватљиви, али ЕИАТРНГЛ и ТРИЕНГЛА су не)?
   Решење: Ово је најбоље размислити у два корака. Први корак је избор места где самогласници иду. Овде бирамо три места од осам, а редослед да то учинимо није важно. Ово је комбинација и има их укупно Ц(8,3) = 56 начина да се изведе овај корак. Преосталих пет слова може бити распоређено у 5! = 120 начина. То даје укупно 56 к 120 = 6720 аранжмана.
8. На колико различитих начина се могу сложити слова речи ТРИАНГЛЕ ако се редослед самогласника ИАЕ може променити, мада њихово постављање можда није?
   Решење: Ово је стварно иста ствар као # 4 горе, али са различитим словима. Организирамо три слова у 3! = 6 начина и осталих пет слова у 5! = 120 начина. Укупни број начина за овај аранжман је 6 к 120 = 720.
9. На колико различитих начина може да се сложи шест слова речи ТРИАНГЛЕ?
   Решење: Пошто говоримо о аранжману, ово је пермутација и има их укупно П( 8, 6) = 8!/2! = 20.160 начина.
10. На колико различитих начина се може распоредити шест слова ријечи ТРИАНГЛЕ ако мора постојати једнак број самогласника и сугласника?
    Решење: Постоји само један начин да одаберемо самогласнике које ћемо постављати. Одабир сугласника може се извршити у Ц(5, 3) = 10 начина. Ту су онда 6! начина да сложите шест слова. Помножите ове бројеве заједно за резултат 7200.
11. На колико различитих начина се може сложити шест слова ријечи ТРИАНГЛЕ ако мора постојати барем један сугласник?
    Решење: Сваки аранжман од шест слова задовољава услове, па их има П(8, 6) = 20.160 начина.
12. На колико различитих начина се може сложити шест слова ријечи ТРИАНГЛЕ ако се самогласници морају измјењивати са сугласницима?
    Решење: Постоје две могућности, прво слово је самогласник или прво слово сугласник. Ако је прво слово самогласник, имамо три избора, а затим пет за консонант, два за други самогласник, четири за други сугласник, један за последњи самогласник и три за последњи сугласник. То множимо тако да добијемо 3 к 5 к 2 к 4 к 1 к 3 = 360. Аргументима симетрије постоји исти број аранжмана који почињу са сугласником. То даје укупно 720 аранжмана.
13. Колико различитих сетова од четири слова може да се формира од речи ТРИАНГЛЕ?
    Решење: Пошто говоримо о а комплет од четири писма од укупно осам, редослед није важан. Морамо израчунати комбинацију Ц(8, 4) = 70.
14. Колико различитих скупова од четири слова може бити формирано од речи ТРИАНГЛЕ која има два самогласника и два сугласника?
    Решење: Овде смо формирали свој сет у два корака. Постоје Ц(3, 2) = 3 начина да одаберете два самогласника од укупно 3. Постоје Ц(5, 2) = 10 начина за одабир сугласника из пет доступних. То даје укупно 3к10 = 30 могућих сетова.
15. Колико различитих скупова од четири слова може бити формирано од речи ТРИАНГЛЕ ако желимо барем један самогласник?
    Решење: То се може израчунати на следећи начин:

• Број скупова од четири са једним самогласником је Ц(3, 1) к Ц( 5, 3) = 30.
• Број скупова од четири са два самогласника је Ц(3, 2) к Ц( 5, 2) = 30.
• Број скупова од четири са три самогласника је Ц(3, 3) к Ц( 5, 1) = 5.

То даје укупно 65 различитих сетова. Наизменично бисмо могли израчунати да постоји 70 начина да се формира скуп било која четири слова и одузме то Ц(5, 4) = 5 начина добијања скупа без самогласника.