Макс и тачке сагиба Цхи-Скуаре дистрибуције

Математичка статистика користи технике из различитих грана математике да би коначно доказао да су изјаве у вези са статистиком тачне. Видећемо како да користимо рачуницу да одредимо горе наведене вредности обе максималне вредности хи-квадратна дистрибуција, која одговара његовом моду, као и пронаћи тачке прегиба дистрибуција.

Пре него што то учинимо, разговараћемо о карактеристикама максима и тачака сагибања уопште. Такође ћемо испитати методу за израчунавање максималних тачака сагиба.

За дискретни скуп података режим је вредност која се најчешће појављује. На хистограму података то би било представљено највишом траком. Једном када знамо највишу траку, погледамо вредност података која одговара бази за ову траку. Ово је мод за наш скуп података.

Иста идеја се користи у раду са континуираном дистрибуцијом. Овог пута да бисмо пронашли мод, тражимо највећи врх у дистрибуцији. За граф ове дистрибуције, висина врха је и вредност. Ова вредност и назива се за наш графикон максимална јер је вредност већа од било које друге вредности и. Режим је вредност дуж хоризонталне осе која одговара тој максималној и-вредности.

Иако можемо једноставно погледати графикон дистрибуције да бисмо пронашли мод, постоје неки проблеми са овом методом. Наша тачност је добра само као и наш графикон и вероватно ћемо је морати проценити. Такође, могу бити потешкоћа у графиковању наше функције.

Алтернативни метод који не захтева графикон је употреба рачунице. Метода коју ћемо користити је сљедећа:

1. Започните са функцијом густине вероватноће ф (Икс) за нашу дистрибуцију.
2. Израчунајте прво и друго деривати ове функције: ф '(Икс) и ф ''(Икс)
3. Поставите први дериват једнак нули ф '(Икс) = 0.
4. Решите за Икс.
5. Укључите вредност (е) из претходног корака у други дериват и процените. Ако је резултат негативан, имамо локални максимум на вредности к.
6. Оцените нашу функцију ф (Икс) у свим тачкама Икс из претходног корака.
7. Процијените функцију густоће вјероватности на било којој крајњој точки његове подршке. Дакле, ако функција има домену задану у затвореном интервалу [а, б], процијените функцију на крајњим точкама а и б.
8. Највећа вредност у корацима 6 и 7 биће апсолутни максимум функције. Вредност к код које се појављује овај максимум је начин дистрибуције.

Сада пролазимо кроз горње кораке за израчун начина расподјеле хи-квадрат са р степени слободе. Почињемо са функцијом густине вероватноће ф(Икс) која се приказује на слици у овом чланку.

ф (Икс) = К Икс^{р / 2-1}е^{-к / 2}

Ево К је константа која укључује гама функција и снаге 2. Не требамо знати специфичности (међутим, можемо се позвати на формулу на слици за њих).

Први дериват ове функције даје се коришћењем правило производа као и правило ланца:

ф '( Икс ) = К (р / 2 - 1)Икс^{р / 2-2}е^{-к / 2} - (К / 2) Икс^{р / 2-1}е^{-к / 2}

Поставили смо ову деривату једнаку нули и фактор израза израчунали на десној страни:

0 = К к^{р / 2-1}е^{-к / 2} [(р / 2 - 1)Икс^-1- 1/2]

Од константе К, тхе тхе експоненцијална функција и Икс^{р / 2-1} све су нечије, можемо да поделимо обе стране једначине овим изразима. Затим имамо:

0 = (р / 2 - 1)Икс^-1- 1/2

Помножите обје једначине са 2:

0 = (р - 2)Икс^-1- 1

Дакле 1 = (р - 2)Икс^-1а закључујемо тако што имамо к = р - 2 Ово је тачка дуж водоравне осе на којој се одвија мод. Указује на Икс вредност вршног дела наше квадратне дистрибуције.

Још једна карактеристика криве се бави начином на који се крива. Делови кривуље могу бити конкавни према горе, попут горњег слова У. Кривуље такође могу бити конкавно спуштене и обликоване попут раскрсница симбол ∩. Тамо где се кривуља мења из конкавне до конкавне према горе, или обрнуто, имамо тачку сагиба.

Други дериват функције детектује конкавност графа функције. Ако је други дериват позитиван, кривуља је конкавна према горе. Ако је други дериват негативан, кривуља је конкавна према доле. Када је други дериват једнак нули, а граф функције мења конкавитет, имамо тачку прегиба.

Да бисмо пронашли тачке сагиба графикона:

1. Израчунајте други дериват наше функције ф ''(Икс).
2. Поставите овај други дериват једнак нули.
3. Решите једначину из претходног корака за Икс.

Сада видимо како да радимо кроз горње кораке за хи-квадратну дистрибуцију. Започињемо диференцирањем. Из горњег дела смо видели да је прва изведеница за нашу функцију:

ф '(Икс) = К (р / 2 - 1) Икс^{р / 2-2}е^{-к / 2} - (К / 2) Икс^{р / 2-1}е^{-к / 2}

Поново се разликујемо користећи двапут правило о производу. Имамо:

ф ''( Икс ) = К (р / 2 - 1) (р / 2 - 2)Икс^{р / 2-3}е^{-к / 2} - (К / 2) (р / 2 - 1)Икс^{р / 2-2}е^{-к / 2} + (К / 4) Икс^{р / 2-1}е^{-к / 2} - (К / 2) (р / 2 - 1) Икс^{р / 2-2}е^{-к / 2}

Поставили смо ово једнако нули и обе стране поделили са Ке^{-к / 2}

0= (р / 2 - 1) (р / 2 - 2)Икс^{р / 2-3}- (1/2) (р / 2 - 1)Икс^{р / 2-2}+ (1/ 4) Икс^{р / 2-1}- (1/ 2)(р/2 - 1) Икс^{р / 2-2}

Комбиновањем термина имамо:

(р / 2 - 1) (р / 2 - 2)Икс^{р / 2-3}- (р / 2 - 1)Икс^{р / 2-2}+ (1/ 4) Икс^{р / 2-1}

Помножите обе стране са 4Икс^{3 - р / 2}, ово нам даје:

0 = (р - 2) (р - 4) - (2р - 4)Икс+ Икс^2.

Квадратна формула се сада може користити за решавање Икс.

Икс = [(2р - 4) +/- [(2р - 4)² - 4 (р - 2) (р - 4)]^1/2]/2

Проширујемо појмове који су узети на 1/2 снаге и видимо следеће:

(4р² -16р + 16) - 4 (р² -6р + 8) = 8р - 16 = 4 (2р - 4)

То значи да:

Икс = [(2р - 4) +/- [(4 (2р - 4)]^1/2] / 2 = (р - 2) +/- [2р - 4]^1/2

Из овога видимо да постоје две тачке прегиба. Штавише, ове тачке су симетричне у погледу режима расподеле, јер је (р - 2) на пола пута између две тачке прегиба.

Видимо како су обе ове карактеристике повезане са бројем степени слободе. Те информације можемо да помогнемо у скицирању дистрибуције хи-квадрата. Такву дистрибуцију можемо такође упоредити са другима, попут нормалне. Можемо видети да се тачке сагиба за хи-квадратну дистрибуцију појављују на различитим местима од места тачке прегиба за нормалну дистрибуцију.