Шта је скелет експоненцијалне дистрибуције?

Заједнички параметри за расподела укључују средњу и стандардну девијацију. Средња вредност мери средиште, а стандардно одступање говори колико је раширена дистрибуција. Поред ових добро познатих параметара, постоје и други који скрећу пажњу на карактеристике које нису распон или центар. Једно такво мерење је скевнесс. Скевнесс даје начин да се асиметрија дистрибуције придаје бројчаној вриједности.

Једна важна дистрибуција коју ћемо испитати је експоненцијална дистрибуција. Видећемо како да докажемо да је сконост експоненцијалне дистрибуције 2.

Започињемо наводећи функцију густоће вероватноће за експоненцијалну дистрибуцију. Свака од ових дистрибуција има параметар који је повезан са параметром из припадајућег Поиссонов процес. Ову дистрибуцију означавамо као Екп (А), где је А параметар. Функција густине вероватноће за ову дистрибуцију је:

ф(Икс) = е^{-Икс/ А}/ А, где Икс је негативан.

Ево е је математички константно е то износи отприлике 2.718281828. Средње и стандардно одступање експоненцијалне расподјеле Екп (А) односе се на параметар А. У ствари, средња и стандардна девијација су оба једнака А.

Скевнесс је дефинисан изразом који се односи на трећи тренутак око средње вриједности. Овај израз је очекивана вредност:

Е [(Кс - µ)³/σ³] = (Е [Кс³] - 3µ Е [Кс²] + 3μ²Е [Кс] - µ³)/σ³ = (Е [Кс³] – 3μ(σ² – μ³)/σ³.

Заменимо µ и σ са А, а резултат је да је накривљеност Е [Кс³] / А³ – 4.

Остало је само израчунати трећу тренутак о пореклу За то морамо интегрисати следеће:

∫^∞₀Икс³ф(Икс) дИкс.

Овај интеграл има бесконачност за једну од његових граница. Стога се може оценити као непримерени интеграл типа И. Морамо утврдити и коју технику интеграције да користимо. Пошто је функција за интегрисање производ полиномне и експоненцијалне функције, морали бисмо да је користимо интеграција по деловима. Ова техника интеграције се примењује неколико пута. Крајњи резултат је тај:

Е [Кс³] = 6А³

Затим то комбинујемо са нашом претходном једначином за скочност. Видимо да је нагиб 6 - 4 = 2.

Важно је напоменути да је резултат неовисан о конкретној експоненцијалној дистрибуцији с којом започињемо. Накривљеност експоненцијалне дистрибуције не зависи од вредности параметра А.

Надаље, видимо да је резултат позитиван скев. То значи да је дистрибуција искривљена удесно. Ово не би требало да буде изненађење док размишљамо о облику графикона функције густине вероватноће. Све такве дистрибуције имају и-пресретање као 1 // тхета и реп који иде у крајњу десну страну графикона, што одговара високим вредностима променљиве Икс.

Наравно, треба споменути и да постоји још један начин израчунавања скочности. Можемо искористити функцију генерисања тренутка за експоненцијалну дистрибуцију. Први дериват функција генерисања момента процењено на 0 даје нам Е [Кс]. Слично томе, трећи дериват функције генерисања момента када се процењује на 0 даје нам Е (Кс³].