Функције генерисања момента случајних променљивих

Један начин да се израчуна средња вредност и одступање а расподела је пронаћи оно очекиване вредности случајних променљивих Икс и Икс². Ми користимо нотацију Е(Икс) и Е(Икс²) за означавање ових очекиваних вредности. Генерално, тешко је израчунати Е(Икс) и Е(Икс²) директно. Да бисмо заобишли ову потешкоћу, користимо се неким напреднијим математичким теоријама и рачуницама. Крајњи резултат је нешто што олакшава наше калкулације.

Стратегија овог проблема је дефинисање нове функције, нове променљиве т то се назива функцијом генерисања момента. Ова функција омогућава нам израчунавање тренутака једноставним узимањем деривата.

Пре него што дефинишемо функцију генерисања тренутка, започињемо постављањем бине са нотацијама и дефиницијама. Пустили смо Икс бити а дискретна случајна варијабла. Ова случајна променљива има функцију масе вероватноће ф(Икс). Простор узорка са којим радимо ће бити означен са С.

Уместо да израчунава очекивану вредност Икс, желимо да израчунамо очекивану вредност експоненцијалне функције која се односи на

Функција генерисања тренутка је очекивана вредност горње експоненцијалне функције. Другим речима, кажемо да је функција која генерише тренутак Икс даје:

М(т) = Е(е^тКс)

Ова очекивана вредност је формула Σ е^ткф (Икс), где сажето преузима све Икс у узорак простораС. То може бити коначна или бесконачна сума, зависно од простора узорка који се користи.

Функција генерисања тренутка има много функција које се вежу за друге теме у вероватноћи и математичкој статистици. Неке од његових најважнијих карактеристика укључују:

• Коефицијент од е^тб је вероватноћа да Икс = б.
• Функције генерисања момента поседују јединствено својство. Ако функције генерисања момента за две случајне променљиве одговарају једна другој, тада функције вероватноће масе морају бити исте. Другим речима, случајне променљиве описују исту дистрибуцију вероватноће.
• Функције генерисања момента могу се користити за израчунавање тренутака Икс.

Последња ставка на горњој листи објашњава назив функција за генерисање тренутка и њихову корисност. Неки напредни математичари кажу да је, под условима које смо поставили, дериват било ког редоследа функције М (т) постоји за када т = 0. Даље, у овом случају можемо променити редослед сумирања и диференцијације у односу на т да бисте добили следеће формуле (све сумације су изнад вредности од Икс у простору за узорке С):

• М’(т) = Σ ке^ткф (Икс)
• М’’(т) = Σ Икс²е^ткф (Икс)
• М’’’(т) = Σ Икс³е^ткф (Икс)
• М^(н)’(т) = Σ Икс^не^ткф (Икс)

Ако кренемо т = 0 у горњим формулама, тада је е^тк термин постаје е⁰ = 1. Тако добијамо формуле за тренутке случајне променљиве Икс:

• М’(0) = Е(Икс)
• М’’(0) = Е(Икс²)
• М’’’(0) = Е(Икс³)
• М^(н)(0) = Е(Икс^н)

То значи да ако функција генерирања тренутка постоји за одређену случајну варијаблу, тада можемо пронаћи њену средину и њену варијанцу у смислу деривата функције генерирања тренутка. Средња вредност је М(0), а варијанта је М’’(0) – [М’(0)]².

Укратко, морали смо да се упустимо у неке прилично јаке математике, тако да смо неке ствари прекривале сјај. Иако морамо да користимо израчун за горе наведено, на крају је наш математички рад обично лакши него израчунавањем момената директно из дефиниције.